Matematyka.pl

Zad
wykazac, ze funkcja f ma pochodną w punkcie x rzedu drugiego, to
\(\displaystyle{ f''(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-2f(x)+f(x-h)}{h^2}}\).
Uzasadnic, że tw. odwrotne jest fałszywe.

robin5hood napisał:

Uzasadnic, że tw. odwrotne jest fałszywe

\(\displaystyle{ f(x) = ft\{\begin{array}{l} x^2sin(\frac{1}{x}) \ \ \ x 0 \\ 0 \ \ x =0 \end{array}}\)
jak widac... \(\displaystyle{ f^{\prime \prime}(0)}\) nie istnieje. ale ten limes tak
ckd

A to twierdzenie jak wykazac?

Ustalmy \(\displaystyle{ x}\). Korzystając z wzoru Taylora dla funkcji \(\displaystyle{ f}\) w otoczeniu \(\displaystyle{ x}\) mamy:
\(\displaystyle{ f(x + h) = f(x) + f'(x)\cdot h + \frac{f''(x)}{2}\cdot h^{2} + o(h^{2})\\
f(x - h) = f(x) - f'(x)\cdot h + \frac{f''(x)}{2}\cdot h^{2} + o(h^{2})}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{f(x + h) + f(x - h) - 2f(x)}{h^{2}} = f''(x) + o(h^{2})}\)
i przechodząc do granicy przy \(\displaystyle{ h\to 0}\) otrzymujemy tezę.

Btw. Jeśli do warunków zadania dorzucić warunek ciągłości drugiej pochodnej, to możemy zadanie rozwiązać elementarniej:
Z twierdzenia Lagrange'a:
\(\displaystyle{ f(x + h) - 2f(x) + f(x - h) =\\
= f'(x + \theta_{1}\cdot h)h - f'(x - h + \theta_{1}\cdot h)h =\\
= f''(x + \theta_{2}\cdot h)h^{2}, \ \theta_{1}, \theta_{2}\in (0, 1)}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ f''(x) = \lim_{h\to 0}f''(x + \theta_{2}\cdot h) = \lim_{h\to 0}\frac{f(x + h) - 2f(x) + f(x - h)}{h^{2}}}\)