jak sie liczy coś takiego
-
pasjonat
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 21 mar 2007, o 00:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 2 razy
jak sie liczy coś takiego
liczba dzielnikow zera i elementow odwracalnych w pierscieniu \(\displaystyle{ Z_{5} Z_{4} Z_{2}}\) i jeszcze4 takie zadanko wogole nie wiem co to jest baza ciała a zadanie brzmi wypisać z uzasadnieniem baze ciala \(\displaystyle{ Q(\sqrt{22}, \sqrt{66})}\) jako przestrzeni wektorowej nad \(\displaystyle{ Q}\). prosze o pomoc..tenks
-
Arek
- Użytkownik
- Posty: 1729
- Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Koszalin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 12 razy
jak sie liczy coś takiego
O dzielnikach zera i elementach odwracalnych rozpisałem się w: https://matematyka.pl/viewtopic.php?t=40693.
Jeżeli chodzi o bazy... Sprawa jest nader prosta.
LEMAT: Załóżmy, że K jest podciałem ciała L. Wówczas L można traktować jako przestrzeń liniową nad ciałem K.
To jest jasne, prawda? Aksjomaty przestrzeni liniowych są natychmiast spełnione.
Stąd też, zgodnie z lematem Kuratowskiego - Zorna (podstawowe zastosowanie tego lematu w algebrze...), istnieje baza owej przestrzeni liniowej. I to jest właśnie baza rozszerzenia ciał.
Teraz pytanie brzmi, jak sprawdzać liniową niezależność w takiej przestrzeni, czy jest na to jakieś szybkie kryterium? Otóż istotnie może się tak zdarzyć... W tym przydają się dwa stwierdzenia, których nie będę dowodzić, ale dowody są nietrudne, do znalezienia w podręcznikach do algebry, np. Białynickiego - Biruli...
LEMAT 1
Jeżeli \(\displaystyle{ K L M}\) jest ciągiem rozszerzeń skończonych, gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) jest bazą przestrzeni L nad K, a \(\displaystyle{ w_j}\) bazą przestrzeni M nad L, to zbiór wszystkich iloczynów \(\displaystyle{ v_iw_j}\) jest bazą przestrzeni M nad K.
LEMAT 2
Niech \(\displaystyle{ K K(a)}\) będzie algebraicznym rozszerzeniem ciał. Wówczas zbiór \(\displaystyle{ \{1, a, \ldots a^{n-1} \}}\), gdzie n jest najmniejszą taką liczbą naturalną, że pewien wielomian f stopnia n nad ciałem K, spełnia f(a)=0, jest bazą tego rozszerzenia.
Stąd już powinno być łatwo rozwiązać problem, wskazany w poście.
Jeżeli chodzi o bazy... Sprawa jest nader prosta.
LEMAT: Załóżmy, że K jest podciałem ciała L. Wówczas L można traktować jako przestrzeń liniową nad ciałem K.
To jest jasne, prawda? Aksjomaty przestrzeni liniowych są natychmiast spełnione.
Stąd też, zgodnie z lematem Kuratowskiego - Zorna (podstawowe zastosowanie tego lematu w algebrze...), istnieje baza owej przestrzeni liniowej. I to jest właśnie baza rozszerzenia ciał.
Teraz pytanie brzmi, jak sprawdzać liniową niezależność w takiej przestrzeni, czy jest na to jakieś szybkie kryterium? Otóż istotnie może się tak zdarzyć... W tym przydają się dwa stwierdzenia, których nie będę dowodzić, ale dowody są nietrudne, do znalezienia w podręcznikach do algebry, np. Białynickiego - Biruli...
LEMAT 1
Jeżeli \(\displaystyle{ K L M}\) jest ciągiem rozszerzeń skończonych, gdzie \(\displaystyle{ v_i}\) jest bazą przestrzeni L nad K, a \(\displaystyle{ w_j}\) bazą przestrzeni M nad L, to zbiór wszystkich iloczynów \(\displaystyle{ v_iw_j}\) jest bazą przestrzeni M nad K.
LEMAT 2
Niech \(\displaystyle{ K K(a)}\) będzie algebraicznym rozszerzeniem ciał. Wówczas zbiór \(\displaystyle{ \{1, a, \ldots a^{n-1} \}}\), gdzie n jest najmniejszą taką liczbą naturalną, że pewien wielomian f stopnia n nad ciałem K, spełnia f(a)=0, jest bazą tego rozszerzenia.
Stąd już powinno być łatwo rozwiązać problem, wskazany w poście.
-
pasjonat
- Użytkownik
- Posty: 14
- Rejestracja: 21 mar 2007, o 00:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Tarnów
- Podziękował: 2 razy
jak sie liczy coś takiego
serdeczne dzieki..dalej moze jakos pojdzie
[ Dodano: 1 Września 2007, 18:57 ]
dzieki
[ Dodano: 1 Września 2007, 18:57 ]
dzieki
jak sie liczy coś takiego
hihi może jakoś Ci to bardziej przybliżę po prostu rozwiązując to zadanie.
Mamy \(\displaystyle{ [Q(\sqrt{22},\sqrt{66}):Q]}\).
Szukamy wielomianu f, który należy do \(\displaystyle{ Q(\sqrt{22})}\) oraz musi być nierozkładalny w tym zbiorze i unitarny oraz \(\displaystyle{ f(\sqrt{66})=0}\).
Oczywiście takim wielomianem jest \(\displaystyle{ f=x^{2}-66}\) - który spełnia w/w wymagania.
Baza składa się z : \(\displaystyle{ 1, \sqrt{66}}\), ponieważ stopień naszego wielomianu wynosi 2 (dlatego mamy dwa składniki bazy; od jedynki zaczynamy i później mnożymy ją przez nasz \(\displaystyle{ x=\sqrt{66}}\)).
Czyli wzór naszej bazy wygląda tak:
\(\displaystyle{ Q(\sqrt{22},\sqrt{66})=\{a+b\sqrt{66}, a,b Q(\sqrt{22})\}=\{c+d\sqrt{22}+(e+f\sqrt{22})\sqrt{66}, c,d,e,f Q\}}\)
Mamy \(\displaystyle{ [Q(\sqrt{22},\sqrt{66}):Q]}\).
Szukamy wielomianu f, który należy do \(\displaystyle{ Q(\sqrt{22})}\) oraz musi być nierozkładalny w tym zbiorze i unitarny oraz \(\displaystyle{ f(\sqrt{66})=0}\).
Oczywiście takim wielomianem jest \(\displaystyle{ f=x^{2}-66}\) - który spełnia w/w wymagania.
Baza składa się z : \(\displaystyle{ 1, \sqrt{66}}\), ponieważ stopień naszego wielomianu wynosi 2 (dlatego mamy dwa składniki bazy; od jedynki zaczynamy i później mnożymy ją przez nasz \(\displaystyle{ x=\sqrt{66}}\)).
Czyli wzór naszej bazy wygląda tak:
\(\displaystyle{ Q(\sqrt{22},\sqrt{66})=\{a+b\sqrt{66}, a,b Q(\sqrt{22})\}=\{c+d\sqrt{22}+(e+f\sqrt{22})\sqrt{66}, c,d,e,f Q\}}\)