Strona 1 z 1
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 17:02
autor: majstersztyk
Witam. Bardzo prosiłabym o pomoc w rozwiązaniu całki \(\displaystyle{ \int_{1/2}^{-1/2}}\) \(\displaystyle{ \frac{x*arcsinx}{\sqrt{1- x^{2} } ^{3}}}\) dx.
Zastosowałam podstawienie arcsinx=t i rozwiązuję dalej jak całkę nieoznaczoną. Dochodzę do momentu \(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t*sint}{ cost^{2} }}\)dt i dalej nie wiem jak to ruszyć...
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 17:06
autor: Premislav
Sprecyzujmy: powinno wyjść po podstawieniu
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{t*sint}{ cos^{2}t }dt}\)
- ten zapis był trochę dwuznaczny.
To policz przez części, różniczkując \(\displaystyle{ t}\), a całkując \(\displaystyle{ \frac{\sin t}{\cos^{2}t}}\) do
\(\displaystyle{ \sec(t)}\)-- 7 maja 2016, o 16:09 --A całka z secansa jest ultra znana: np. tu masz napisane, jak ją "zabić":
340892.htm#p5122483
(wprawdzie oznaczenia na końcu skopane, ale można się domyślić).
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 17:32
autor: majstersztyk
Dobra, już wiem jak ją teraz rozwiązać. Dziękuję za pomoc !
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 20:18
autor: Mariusz M
\(\displaystyle{ \int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }\\
=- \sqrt{1-x^2} \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x +\int{ \sqrt{1-x^2}\left( \frac{\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}+2x\arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right)^2 } \right) \dd x }\\
-\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\int{\frac{1}{1-x^2} \mbox{d}x }+2\int{ \frac{x\arcsin{x}}{\left( 1-x^2\right) \sqrt{1-x^2} } \mbox{d}x }\\
-\int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\int{\frac{1}{1-x^2} \mbox{d}x }\\
-\int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\frac{1}{2}\int{\frac{\left( 1-x\right)+\left( 1+x\right) }{1-x^2} \mbox{d}x }\\
-\int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\frac{1}{2}\left( \int{ \frac{ \mbox{d}x }{1-x} }+\int{ \frac{ \mbox{d}x }{1+x} }\right) \\
-\int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }=-\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{1+x}{1-x}\right| }-C\\
\int{\frac{x}{ \sqrt{1-x^2} } \cdot \frac{\arcsin{x}}{1-x^2} \mbox{d}x }=\frac{\arcsin{x}}{ \sqrt{1-x^2} }+\frac{1}{2}\ln{\left| \frac{1-x}{1+x}\right| }+C}\)
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 20:26
autor: a4karo
\(\displaystyle{ f'=\frac{x}{\sqrt{1-x^2}},\ g=\arcsin x}\)
\(\displaystyle{ f=-\sqrt{1-x^2}\ g'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
Jedynkę całkuje sie łatwo
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 20:30
autor: Premislav
a4karo, ale użytkowniczka niewyraźnie to napisała, tam jest
\(\displaystyle{ \int_{-1/2}^{1/2} \frac{x\cdot \arcsin x}{(1- x^{2} )^{\frac 3 2}}dx}\),
więc to się aż tak ładnie nie skróci.
-- 7 maja 2016, o 19:34 --
Niemniej jednak dobry jest pomysł, by scałkować przez części.
całka oznaczona
: 7 maja 2016, o 20:43
autor: a4karo
Sry, nie dopatrzyłem
\(\displaystyle{ f'=\frac{x}{(\sqrt{1-x^2})^3},\ g=\arcsin x}\)
\(\displaystyle{ f=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\ g'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}\)
Całkę z \(\displaystyle{ \frac{1}{1-x^2}}\) liczy sie prosto