Matematyka.pl

Postawiłam sobie pytanie:
Czy zbiory należące jednocześnie do dwóch sigma-algebr tworzą sigma-algebrę?

Przede wszystkim chciałam zilustrować to sobie na jakimś konkretnym przykładzie, a potem dopiero udzielić ogólnej odpowiedzi.

Jeśli weźmiemy najmniejszą i największą sigma-algebrę dowolnego zbioru X, to rzeczywiście zbiory należące jednocześnie do obu rodzin, będą tworzyły sigma-algebrę.

Jednak to jest mega trywialny przykład. Nie chce mi się wierzyć, że to zachodzi dla wszystkich sigma-algebr.
Proszę o pomoc w udzieleniu odpowiedzi na postawione wyżej pytanie.

Rozumiem, że sytuacja jest taka: mamy przestrzeń \(\displaystyle{ \Omega}\) i dwie rodziny zbiorów \(\displaystyle{ \mathcal{A}\subset P(\Omega)}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B}\subset P(\Omega)}\), będące sigma algebrami. Chcesz wiedzieć, czy \(\displaystyle{ \mathcal{A} \cap \mathcal{B}}\) zawsze jest sigma algebrą.

Wtedy odpowiedź jest twierdząca. Rozpisz po prostu z definicji. Np. skoro
\(\displaystyle{ A_{i} \in \mathcal{A} \cap \mathcal{B}, i=1,2...}\), to A_{i} in mathcal{A}, zatem \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{i} \in \mathcal{A}}\) gdyż \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) jest sigma algebrą i analogicznie
\(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty }A_{i} \in \mathcal{B}}\). A stąd \(\displaystyle{ \bigcup_{i=1}^{ \infty } A_{i}}\)należy też do przekroju \(\displaystyle{ \mathcal{A}}\) i \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\).

Łał, rzeczywiście coś takiego zachodzi.
Aż nie mogę uwierzyć, ale dziękuję za pomoc

Powyższe zachodzi dla dowolnego przekroju \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciał (dowód jest ten sam), co jest np. podstawą, by mówić o najmniejszym \(\displaystyle{ \sigma-}\)ciele zawierającym ustaloną rodzinę zbiorów.