liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Grupy, pierścienie, ciała, rozkładalność, klasyczne struktury algebraiczne...
agusia_a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 28 sie 2007, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: agusia_a » 31 sie 2007, o 12:45

Mam prośbę... nie mam pojęcia jak się wyznacza liczbę dzielników zera i elementów odwracalnych w iloczynach kartezjańskich... Proszę o szczegółowy wykład, może być na przykładzie; \(\displaystyle{ Z_{5} × Z_{4} × Z_{2}}\) i \(\displaystyle{ Z_{5} × Z_{3} × Z_{7}}\) Będę bardzo wdzięczna... Pozdrawiam.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: Arek » 31 sie 2007, o 22:41

Element a pierścienia jest dzielnikiem zera, jeżeli sam jest niezerowy i istnieje niezerowy element b tego pierścienia, że ab = 0.

Teraz tylko należy sobie przetłumaczyć tę definicję na ogólną sytuację iloczynu. Załóżmy, że mamy pierścień \(\displaystyle{ R = R_1 R_2 R_3 \ldots R_n}\). Mnożenie w tym pierścieniu jest mnożeniem po współrzędnych, a więc jeżeli \(\displaystyle{ (a_1,a_2, ... ,a_n) R}\) jest dzielnikiem zera, to:

1) Co najmniej jedna ze współrzędnych jest niezerowa.
2) Istnieje taki niezerowy element \(\displaystyle{ (b_1,b_2, ... ,b_n) R}\), że:

(*)

\(\displaystyle{ (a_1b_1,a_2b_2, ... ,a_nb_n) = (0,0, \ldots ,0)}\)

Teraz detale... Aby ów element b był niezerowy, wystarczy by choć jedna jego współrzędna była niezerowa. I w tym miejscu występuje istotna różnica pomiędzy sytuacją normalną, ponieważ tutaj, teoretycznie może się zdarzyć np. taka sytuacja:

Bierzemy element niezerowy (0,1) i element niezerowy (1,0), a jednak ich iloczyn w tym pierścieniu to (0,0), a więc (0,1) i (1,0) są dzielnikami zera w tym pierścieniu.

Zauważmy ogólną prawidłowość:

Jeżeli \(\displaystyle{ (a_1,a_2, ... ,a_n) R}\) jest takim NIEZEROWYM elementem, że pewna jego współrzędna jest zerem (a więc pewna współrzędna jest niezerowa, a inna jest), to element ten na pewno jest dzielnikiem zera. Dlaczego? Załóżmy (to bez znaczenia), że zerowa jest pierwsza współrzędna. Zatem element (1,0,...,0), w sposób oczywisty niezerowy, zamienia wszystko w zero:

\(\displaystyle{ (0,a_2, ... ,a_n)(1,0,...,0) = (0,0, \ldots 0)}\)

To daje dużo odpowiedzi, pozostaje więc pytanie: co robić, gdy każda współrzędna elementu pierścienia jest niezerowa. Tutaj już sprawa jest prosta... Skoro KAŻDA współrzędna jest niezerowa, to \(\displaystyle{ (a_1,a_2, ... ,a_n) R}\) jest dzielnikiem zera w produkcie pierścieni, gdy każda jego współrzędna jest dzielnikiem zera w odpowiednim pierścieniu stanowiącym czynnik tego iloczynu, wynika to natychmiast z (*).

Reasumując:

W pierścieniu \(\displaystyle{ R = R_1 R_2 R_3 \ldots R_n}\) dzielnikami zera są wszystkie elementy niezerowe, które mają co najmniej jedną współrzędną zerową oraz takie elementy, która każda współrzędna \(\displaystyle{ a_i}\)jest dzielnikiem zera odpowiednio w pierścieniu \(\displaystyle{ R_i}\).

Wniosek: Jeżeli jeden z czynników stanowiących produkt pierścieni jest ciałem, to jedyne dzielniki zera, to takie elementy, które są niezerowe, ale co najmniej jedna ich współrzędna jest zerem. Jako, że \(\displaystyle{ Z_5}\) jest ciałem, mamy odpowiedź na pytanie postawione w poście.

---

Przypadek odwracalności jest prostszy... Tutaj, aby \(\displaystyle{ (a_1b_1,a_2b_2, ... ,a_nb_n) = (1,1, \ldots ,1)}\), nie może wystąpić sytuacja, gdzie którakolwiek współrzędna była zerem. Zatem tutaj sprawa odbywa się bez komplikacji: elementy odwracalnie w produkcie to takie, które na każdej współrzędnej posiadają element odwracalny pierścienia będącego czynnikiem całego produktu.

---

W ten sposób zresztą udowodniliśmy proste i przyjemny lematy:

1) Iloczyn dwóch ciał nigdy nie jest ciałem.

2) Jeżeli pierścień \(\displaystyle{ R = R_1 R_2 \ldots R_n}\) jest iloczynem pierścieni będących ciałami, to element niezerowy \(\displaystyle{ (a_1,a_2, ... ,a_n) R}\) jest:

a) odwracalny wtedy i tylko wtedy gdy każda jego współrzędna jest niezerowa,
b) dzielnikiem zera wtedy i tylko wtedy, gdy co najmniej jedna jego współrzędna jest zerem.

Jest to więc bardzo przyjemna struktura, taki iloczyn ciał...

agusia_a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 28 sie 2007, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: agusia_a » 2 wrz 2007, o 00:57

Dziękuje ślicznie:-) a jest może jakiś szybszy sposób obliczenia liczby dzielników zera i elementów odwracalnych?Jakiś wzór..np? W przypadku \(\displaystyle{ Z_{p}}\) gdzie p- liczba pierwsza, oczywiście istnieją wzory.. hih może i w tym przypadku też coś jest? czy konieczne jest wypisywanie wszystkich dzielników zera i elementów odwracalnych?

Awatar użytkownika
Emiel Regis
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1495
Rejestracja: 26 wrz 2005, o 17:01
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 71 razy
Pomógł: 225 razy

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: Emiel Regis » 2 wrz 2007, o 10:26

heh, chłopak ładnie to rozpisał a Ty nawet nie starasz się zrozumieć. A wszystko już zostało powiedziane...
Po pierwsze primo to \(\displaystyle{ Z_p}\) jest ciałem wiec jeśli znasz jakies wzory na dzielniki zera w nim to chętnie zobaczę.
Po drugie primo spróbuję Ci zliczyć dzielniki z Twojego przykładu \(\displaystyle{ Z_5 Z_3 Z_7}\).
Do naszej struktury należą trójelementowe ciągi. Pytamy się ile jest ciągów zawierających zero.
Wszystkich ciągów jest 5*3*7 (na pierwszym miejscu może stać 5 liczb, na drugim 3, na trzecim 7), od tego odejmiemy ciągi bez zera, ich będzie 4*2*6, od tego jeszcze należy odjąć jeden przypadek gdzie ciąg składa się z samych zer.
Ostatecznie:
\(\displaystyle{ 5 3 7 - 4 2 6 - 1 = 56}\)
Mam nadzieję że niczego nie pominąłem. Teraz dla iloczynu ciał można już napisać ogólniejszy wzór. Mianowicie:
\(\displaystyle{ Z_p Z_k Z_l}\) gdzie p, k, l - liczby pierwsze oczywiscie.
\(\displaystyle{ p k l - (p-1) (k-1) (l-1) - 1}\)
Twój pierwszy przykład zrób już sama, w nim poza opisaną powyżej procedurą musisz jeszcze uwzględnic "naturalne" dzielniki zera np w \(\displaystyle{ Z_4}\).

Awatar użytkownika
Arek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 1729
Rejestracja: 9 sie 2004, o 19:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Koszalin
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 12 razy

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: Arek » 2 wrz 2007, o 10:53

Ogólnie rzecz biorąc, jeżeli dla każdego pierścienia będącego czynnikiem naszego iloczynu, mamy informację "ile" dzielników zera taki pierścień posiada, wówczas możemy podać ogólny wzór...

Tak trochę podejrzewałem, że tu bardziej chodziło o numeryczny wynik, no ale jak już wyżej powiedziano, szukanie dzielników zera w iloczynach ciał jest mało interesującym zajęciem, bo wszystkie mają prostą postać (i dowodzą jedynie, że iloczyn ciał nie jest ciałem).

agusia_a
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 39
Rejestracja: 28 sie 2007, o 16:33
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Tarnów

liczba dzielników zera w iloczynie kartezjańskim

Post autor: agusia_a » 3 wrz 2007, o 13:26

Dziękuje za każdą wypowiedź

W \(\displaystyle{ Z_{p} × Z_{p}}\) dzielników zera jest \(\displaystyle{ 2(p-1)}\) a elementów odwracalnych \(\displaystyle{ (p-1)^{2}}\). W \(\displaystyle{ Z_{p^{2}}}\) dzielników zera jest \(\displaystyle{ p-1}\), a elementów odwracalnych \(\displaystyle{ p(p-1)}\).

Pozdrawiam.

ODPOWIEDZ