f-cja uwikłana

Analiza funkcjonalna, operatory liniowe. Analiza na rozmaitościach. Inne zagadnienia analizy wyższej
sztormik
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1
Rejestracja: 31 sie 2007, o 12:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów

f-cja uwikłana

Post autor: sztormik » 31 sie 2007, o 12:38

Jeśli funkcja F jest określona wzorem \(\displaystyle{ F(x,y) = e^{x+y} - cos(xy)}\) to:
Funkcja uwikłana \(\displaystyle{ y = y(x)}\) spełniająca warunki \(\displaystyle{ F(x, y(x)) = 0}\) i \(\displaystyle{ y(0) = 0}\) ma ekstremum lokalne w punkcie \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\)?
W jaki sposób to udowodnić/policzyc?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

f-cja uwikłana

Post autor: scyth » 31 sie 2007, o 12:51

\(\displaystyle{ F(0,0)=0}\)
\(\displaystyle{ \frac{dF}{dy} = x \sin(xy)+e^{x+y} \ \frac{dF}{dy} (0,0) = 1}\)
Możemy korzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej. Liczymy pochodną cząstkową:
\(\displaystyle{ \frac{dF}{dx} = y \sin(xy)+e^{x+y}}\) - ciągła, więc korzystamy ze wzoru na pochodną funkcji uwikłanej:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dx} = \frac{\frac{dF}{dx}}{\frac{dF}{dy}} = \frac{y \sin(xy)+e^{x+y}}{x \sin(xy)+e^{x+y}}}\)
Nie zeruje się ona w (0,0), zatem funkcja uwikłana nie ma tam ekstremum lokalnego...

Przydałoby się, żeby ktoś to zweryfikował.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

f-cja uwikłana

Post autor: Amon-Ra » 31 sie 2007, o 22:14

Ostatni wzór z minusem.

ODPOWIEDZ