różniczka w punkcie?

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: sandarak19 » 31 sie 2007, o 10:50

Jak wyznaczyć wzór na różniczke funkcji w punkcie \(\displaystyle{ (0,3,1)}\)

\(\displaystyle{ f(x,y,z)=(x^2ln(y+z)-y,xyz+arctan(xyz))}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

wruz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 8
Rejestracja: 29 sie 2007, o 13:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: EiTI PW
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 1 raz

różniczka w punkcie?

Post autor: wruz » 31 sie 2007, o 13:04

tak jak mowilem trzeba chyba zasotosowac wzor na pochodna funkcji 3 zmiennych w punkcie:
\(\displaystyle{ \frac{\delta f}{\delta x}|(x_{0},y_{0},z_{0})=\lim_{\Delta x\to 0} \frac{f(x_{0}+\Delta x, y_{0}, z_{0})-f(x_{0},y_{0},z_{0})}{\Delta x}}\)

i tak chyba trzeba policzyc po x, y i z podstawiając punkt \(\displaystyle{ (0,3,1)}\)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: Lady Tilly » 31 sie 2007, o 19:03

http://main3.amu.edu.pl/~bogalska/analwzm.pdf dobre materiały na ten temat.
Lub mozesz sprawdzić też tutaj http://www.if.pw.edu.pl/~pluta/pl/dyd/a ... chodna.HTM znajdziesz tu wzór, który podaje mój "przedmówca" (raczej przedpiszca )

[ Dodano: 31 Sierpnia 2007, 21:11 ]

mam zapytanie - co znaczy ten przecinek? ma on tak być?

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: sandarak19 » 1 wrz 2007, o 09:51

To odwzorowanie jest z \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{3}\rightarrow\mathbb{R}^{2}}\)

Moim zdaniem przecinek oddziela wzory na współrzędne.

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: Amon-Ra » 1 wrz 2007, o 11:02

Weźmy \(\displaystyle{ f(x,y,z)=(f_1,f_2)(x,y,z)}\). Macierz Jacobiego (macierz pierwszej pochodnej) odwzorowania \(\displaystyle{ f:\mathbb{R}^3 \supset D\ni P_0 \longrightarrow (f_1,f_2)\in E \mathbb{R}^2}\) wyrażona będzie następująco:

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x}(P_0) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(P_0) & \frac{\partial f_1}{\partial z}(P_0) & \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(P_0) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(P_0) & \frac{\partial f_2}{\partial z}(P_0)\end{array}\right]}\)

Interesuje nas zmiana wektora \(\displaystyle{ (f_1, f_2)\subset E}\) odwzorowania \(\displaystyle{ f(x,y,z)}\), przy zmianie punktu z \(\displaystyle{ P_0}\) na \(\displaystyle{ P_0+\vec{h}}\). Wychodząc z ogólnej definicji różniczki funkcji \(\displaystyle{ df=f'(P_0)\cdot \vec{h}}\) i biorąc \(\displaystyle{ \vec{h}=\left[dx, \ dy, \ dz\right]}\):

\(\displaystyle{ df(P_0)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x}(P_0) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(P_0) & \frac{\partial f_1}{\partial z}(P_0) & \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(P_0) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(P_0) & \frac{\partial f_2}{\partial z}(P_0)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}dx \\ dy \\ dz\end{array}\right]}\)

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: sandarak19 » 1 wrz 2007, o 11:32

Wielkie dzięki:) Rozwiałeś moje wątpliwości.

Czyli teraz licze pochodne cząstowe i wstawiam do Jacobianu i mnożę przez dx,dy,dz ? Czy raczej wstawić pochodne cząstkowe i juz nic nie mnożyc?

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: Amon-Ra » 1 wrz 2007, o 11:40

Pytanie sformułowałeś konkretnie - interesuje nas różniczka w punkcie o podanych współrzędnych, a nie w jakimś bliżej nieokreślonym \(\displaystyle{ (x_0, y_0, z_0)}\) .

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: sandarak19 » 1 wrz 2007, o 12:53

Jak postępować przy liczeniu pochodnej kierunkowej w tym punkcie, w kierunku wektora

\(\displaystyle{ \vec{n}=[\frac{-\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}]}\)

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: Amon-Ra » 1 wrz 2007, o 15:49

Pochodna w kierunku wektora liczona jest niezmiennie wg wzoru \(\displaystyle{ f'_{\vec{n}}(P_0)=\nabla f(x_0)\circ \vec{n}}\).

sandarak19
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 20
Rejestracja: 8 cze 2007, o 09:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: sandarak19 » 5 wrz 2007, o 14:43

Policzyłem tą pochodną tej funkcji w punkcie \(\displaystyle{ P_{0}=(0,3,1)}\). Dostałem coś takiego:

\(\displaystyle{ df(P_{0})=\left[\begin{array}{ccc}0&-1&0\\6&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}dx\\dy\\dz\end{array}\right]}\)

Mógłbyś mi napisać ile wynosi pochodna kierunkowa wzdłuż wektora \(\displaystyle{ \vec{n}=[\frac{-\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}]}\)

Byłbym wdzięczny bardzo bo to ważne dla mnie zadanie, a nie jestem pewny wyniku. Dziękuje z góry i pozdrawiam:)

rObO87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 580
Rejestracja: 16 sty 2005, o 20:42
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 34 razy
Pomógł: 4 razy

różniczka w punkcie?

Post autor: rObO87 » 17 wrz 2007, o 23:24

sandarak19 pisze:Jak postępować przy liczeniu pochodnej kierunkowej w tym punkcie, w kierunku wektora

\(\displaystyle{ \vec{n}=[\frac{-\sqrt{2}}{2},0,\frac{\sqrt{2}}{2}]}\)
Czy chodzi o takie coś:

\(\displaystyle{ df(P_0)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f_1}{\partial x}(0, 3, 1) & \frac{\partial f_1}{\partial y}(0, 3, 1) & \frac{\partial f_1}{\partial z}(0, 3, 1) & \\ \frac{\partial f_2}{\partial x}(0, 3, 1) & \frac{\partial f_2}{\partial y}(0, 3, 1) & \frac{\partial f_2}{\partial z}(0, 3, 1)\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\frac{-\sqrt{2}}{2} \\ 0 \\ \frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]}\)


ODPOWIEDZ