wyznacz ekstrema lokalne

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
asdw
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 30 sie 2007, o 16:36
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: borki
Podziękował: 10 razy

wyznacz ekstrema lokalne

Post autor: asdw » 30 sie 2007, o 23:15

funkacja f: RxR->R ma wzór \(\displaystyle{ f(x,y)= e^{x-y}(x^{2}-2y^{2})}\) wyznacz ekstrema lokalne jak to rozwiazac pomocy !!

_____
Formuły matematyczne należy umieszczać w klamrach \(\displaystyle{
bolo}\)
Ostatnio zmieniony 31 sie 2007, o 01:23 przez asdw, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

wyznacz ekstrema lokalne

Post autor: scyth » 31 sie 2007, o 16:09

Liczymy pochodne cząstkowe:
\(\displaystyle{ \frac{df}{dx} = 2xe^{x - y} + (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (x^2 +2x - 2y^2)}\)
\(\displaystyle{ \frac{df}{dy} = -4ye^{x - y} - (x^2 - 2y^2)e^{x - y} = e^{x - y} (2y^2-4y-x^2)}\)
I szukamy ich miejsc zerowych, czyli mamy układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases}
x^2 +2x - 2y^2=0 \\ 2y^2-4y-x^2=0
\end{cases}}\)

Rozwiązania tego równania są podejrzane o bycie ekstremami lokalnymi (spełniony warunek konieczny). Są to w naszym przypadku punkty \(\displaystyle{ \{(0,0),(-4,-2)\}}\).
Teraz żeby zbadać czy są to ekstrema liczymy pochodne rzędu drugiego i ich wyznacznik, czyli:
\(\displaystyle{ W = \left|\begin{array}{cc}\frac{d^2f}{dx^2}&\frac{d^2f}{dxdy}\\
\frac{d^2f}{dxdy}&\frac{d^2f}{dy^2}\end{array}\right|}\)

Jeśli wyznacznik w danym punkcie jest większy od zera to mamy ekstremum lokalne i jest to minimum, gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} > 0}\) a gdy \(\displaystyle{ \frac{d^2f}{dx^2} < 0}\) to maksimum.
Mam nadzieję, że sobie już doliczysz. Powodzenia.

ODPOWIEDZ