Matematyka.pl

Nie znalazłem podobnego tematu więc zakładam. Proszę o rozwiązania głównie licealistów (niekoniecznie maturzystów), chyba, że odpowiedź nie pojawi się po 24h. Polecajcie ten temat znajomym, w grupie nauka jest o wiele ciekawsza Zacznę pierwszy:

1. Niech \(\displaystyle{ \alpha}\) i \(\displaystyle{ \beta}\) będą kątami ostrymi takimi, że mamy jednocześnie \(\displaystyle{ 3\sin^2\alpha+2\sin^2\beta=1}\) oraz \(\displaystyle{ 3\sin2\alpha-2\sin2\beta=0}\). Udowodnić, że \(\displaystyle{ \alpha+2\beta=90^{\circ}}\).

To może ja spróbuję: Jeszcze ciekaw jestem, skąd pochodzi to zadanie? Zadanko ode mnie:

2. Na kuli o promieniu \(\displaystyle{ r}\) opisano wielościan o polu powierzchni \(\displaystyle{ S}\). Oblicz objętość tego wielościanu. Jaki jest warunek rozwiązywalności tego zadania?

Sumy pierwszych \(\displaystyle{ 2n}\) i \(\displaystyle{ 3n}\) wyrazów pewnego monotonicznego ciągu geometrycznego wynoszą odpowiednio \(\displaystyle{ 4}\) i \(\displaystyle{ 13}\). Dla każdej liczby całkowitej \(\displaystyle{ k \ge 1}\) wyznaczyć sumę \(\displaystyle{ kn}\) pierwszych wyrazów tego ciągu.

Moje rozwiązanie jest nieco toporne. Może da się bardziej elegancko. Teraz następne (jeśli moje rozwiązanie jest poprawne).
Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ m}\) równanie \(\displaystyle{ \cos x+ \sqrt{3}\sin x =\log m ^{2}}\) ma rozwiązania?

Moje rozwiązanie: 5. Rozwiązać układ równań:
\(\displaystyle{ \begin{cases} x^2 + y^2 + x + y = 62 \\ xy = 14 \end{cases}}\)

No to następne.
Rozwiąż równanie \(\displaystyle{ 2 \cos x=\log y + (\log y) ^{-1}}\)

Rozwiązanie Nie wiem co się stało wcześniej i dlaczego zniknęło zadanie Premislava, które mnie bardzo zaciekawiło, i wracamy do niego na tyle na ile je zapamiętałem :

Pewien matematyka ma dwie kieszenie. Jest palaczem więc trzyma w nich dwie paczki zapałek w celu podpalania swoich papierosów. Na początku ma \(\displaystyle{ m}\) zapałek w obu paczkach, te są nowe ze sklepu więc i równomiernie rozłożona jest ich ilość zapałek w pudełeczkach.
Pewnego,kolejnego razu znów chce zapalić papierosa! Sięga do kieszeni, chce dobyć zapałkę . I co się okazuje ! ? Paczka jest pusta, zapałek w jednym pudełku nie ma, lecz głowa do góry. W drugim zostało \(\displaystyle{ k}\) zapałek. Oblicz prawdopodobieństwo że w momencie gdy jedno z pudełek z zapałkami zostaje opróżnione , w drugim jest \(\displaystyle{ k}\) zapałek.

Powodzenia, Ps. Premislavie, jak przekręciłem coś istotnego, podratuj nas i nie wahaj się wytknąć moje błędy.

Fajne, lewa strona jest nie mniejsza niż dwa czyli musi zachodzić

a jeśli \(\displaystyle{ y = \frac{1}{10}}\) ...?

@Milczek: znowu okazało się, że nie umiem czytać, czy też może czytam wybiórczo.

mint18 pisze:Proszę o rozwiązania głównie licealistów (niekoniecznie maturzystów), chyba, że odpowiedź nie pojawi się po 24h.

Zauważyłem tę uwagę jakieś dwie godziny po tym, jak wysłałem rozwiązanie i następne zadanie (tak mi się zdaje) - za pierwszym razem zacząłem od czytania zadań. Dlatego też usunąłem, żeby się nie wpychać.
To zadanie to jest klasyk, więc pewnie niektórzy będą znać, niemniej jednak uważam, że całkiem ładny. Treść w zasadzie OK, można (choć to pewnie oczywiste) dopisać, że zarówno do lewej, jak i do prawej kieszeni matematyk-palacz sięga z prawdopodobieństwem \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\). To chyba naturalne założenie, że wybór obu pudełek jest tak samo prawdopodobny, ale pamiętam, że gdy dostałem to zadanie na rachunku prawdopodobieństwa na studiach, to początkowo rozwiązywałem z \(\displaystyle{ p \in (0,1)}\) i \(\displaystyle{ 1-p}\) (nie taki był zamysł, tylko po prostu źle zinterpretowałem wtedy treść).

mol_ksiazkowy, Racja , trochę popsułem , mamy nierówność dla \(\displaystyle{ a \in R-\left\{ 0\right\}}\) taką że \(\displaystyle{ a+\frac{1}{a} \ge 2}\) co daje nam też \(\displaystyle{ -a-\frac{1}{a} \le -2}\)
Stąd drugi przypadek że \(\displaystyle{ 2\cos x=-2}\)

Ponadto można też zauważyć że \(\displaystyle{ \log y + (\log y)^{-1}=2}\) gdy \(\displaystyle{ \log y = \frac{1}{\log y}}\) co wynika z nierówności pomiędzy średnimi.

Milczek pisze:Ponadto można też zauważyć że \(\displaystyle{ \log y + (\log y)^{-1}=2}\)gdy \(\displaystyle{ \log y = \frac{1}{\log y}}\)

Znowu: to jest prawda gdy \(\displaystyle{ \log y>0}\), dla \(\displaystyle{ \log y=-1}\) masz wartość \(\displaystyle{ -2}\)
Sorry za czepialstwo.

marcel0906, Napisz jeszcze w swoim rozwiązaniu, że drugie równanie pomnożyłeś przez 2 i wszystko zsumowałeś, żeby było kompletne rozwiązanie, a Milczek, po prostu popraw swoją pierwszą odpowiedź. Napisałem, żeby wypowiadali się głównie (...), ale nie ma problemu jak ktoś starszy też tutaj doda coś od siebie

Aby temat nie stał, bo zadanie z zapałkami się trochę schowało, wrzucam rozwiązanie 182163.htm i dodaję nowe:

8. Wykazać, że jeżeli \(\displaystyle{ a,b,c}\) są długościami boków trójkąta oraz odpowiednio kąty \(\displaystyle{ \alpha, \beta, \gamma}\) leżą naprzeciwko tym bokom, a także \(\displaystyle{ S}\) to pole tego trójkąta, to zachodzi: \(\displaystyle{ \ctg\alpha+\ctg\beta+\ctg\gamma = \frac{a^2+b^2+c^2}{4S}}\)

Warto byłoby pozwolić każdemu rozwiązywać zadania ( wrzucać je następnie w hide ), to na pewno usprawniłoby poruszanie się w temacie, a ponadto każdy miałby możliwość rozwiązania zadań, nie zwracając uwagi na rozwiązanie poprzednika, ponieważ byłoby ukryte. Na pewno poszerzyłoby to ilość zadań i dałoby lepszy efekt, skróciłaby się ilość czasu czekania na następne zadanie. Natomiast tutaj też trzeba podkreślić, aby zadania poziomem trudności nie wykraczały poza zadania maturalne ( nie poza umiejętności, które powinno się nabyć w trakcie nauki, ponieważ to inne scieżki ). Jak już Premislav szczypie, to ja też - funkcji \(\displaystyle{ \ctg}\) z tego co mi wiadomo nie ma na maturze

Rozwiązanie 8. To może ja zaproponuję takie zadanko: Niech dany będzie kwadrat \(\displaystyle{ ABCD}\). Na boku \(\displaystyle{ AB}\) budujemy trójkąt równoboczny \(\displaystyle{ ABE}\), przy czym punkt \(\displaystyle{ E}\) oraz punkt \(\displaystyle{ C}\) znajdują się po tej samej prostej \(\displaystyle{ AB}\). Niech teraz punkt \(\displaystyle{ F}\) będzie punktem przecięcia się prostych \(\displaystyle{ CE}\) i \(\displaystyle{ AD}\) oraz niech punkt \(\displaystyle{ G}\) będzie takim punktem leżącym na boku \(\displaystyle{ AB}\), że \(\displaystyle{ \left| DF\right|=\left| BG\right|}\).
a) Uzasadnij, że trójkąt \(\displaystyle{ CFG}\) jest równoboczny.
b) Uzasadnij, że jeśli odcinki \(\displaystyle{ FG}\) i \(\displaystyle{ AE}\) przecinają się w \(\displaystyle{ P}\) oraz odcinki \(\displaystyle{ CG}\) i \(\displaystyle{ BE}\) przecinają się w \(\displaystyle{ Q}\). to trójkąty \(\displaystyle{ APG}\) i \(\displaystyle{ GQB}\) są podobne w skali równej \(\displaystyle{ 2}\).