Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Wszelkiego rodzaju zadania nie dotyczące funkcji w działach powyżej lub wiążace więcej niż jeden typ funkcji. Ogólne własności. Równania funkcyjne.
poczekaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 sie 2007, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: poczekaj » 30 sie 2007, o 18:44

1.

\(\displaystyle{ f_{(x)}=\sqrt{4-x}-2\sqrt{x}}\)

Zbadaj (na podstawie definicji)monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\).

I czy tu należy robić obliczenia typu :

\(\displaystyle{ f_{(x_{1})}-f_{(x_{2})}.....}\) i sprawdzić czy np \(\displaystyle{ f_{(x_{1})}

Pozdrawiam i z góry dziękuję za pomoc

Korekta ortograficzna.
max
}\)
Ostatnio zmieniony 31 sie 2007, o 09:47 przez poczekaj, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: Plant » 30 sie 2007, o 18:51

4. Funkcja nieparzysta, czyli f(-x)=-f(x), czyli f(0)=-f(0). Jest tylko jedna liczba, której przeciwieństwo jej równe jej samej.

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: Lady Tilly » 30 sie 2007, o 18:58

2)
\(\displaystyle{ x_{1}}\)

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: Plant » 30 sie 2007, o 19:00

5. Najlepiej policzyć pochodną, która pokaże, że funkcja jest rosnąca. No ale z definicji:
Niech \(\displaystyle{ a,b \mathbb{R} a0}\)
\(\displaystyle{ f(a)=a^3+2a-3 \\ f(b)=b^3+2b-3}\)

\(\displaystyle{ f(b)-f(a)=b^3-a^3+2(b-a)>0}\), czyli dla każdego a,b jeśli a

poczekaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 sie 2007, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: poczekaj » 30 sie 2007, o 19:59

Nie ma błędów w treści.

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: Plant » 30 sie 2007, o 22:09

Przepisałeś bez błędów, ale mi to się wydaje dziwne.. Może jakaś usterka w książce.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: max » 31 sie 2007, o 09:51

poczekaj pisze:1.

\(\displaystyle{ f_{(x)}=\sqrt{4-x}-2\sqrt{x}}\)

Zbadaj (na podstawie definicji)monotoniczność funkcji \(\displaystyle{ f}\).

I czy tu należy robić obliczenia typu :

\(\displaystyle{ f_{(x_{1})}-f_{(x_{2})}.....}\) i sprawdzić czy np \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} D_{f}\\
x_{1} < x_{2}}\)

a następnie badać znak różnicy \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})}}\)

poczekaj
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 22
Rejestracja: 25 sie 2007, o 14:38
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Białystok
Podziękował: 2 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: poczekaj » 31 sie 2007, o 12:03

W takim układzie poproszę o rozwiązanie tego.

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Kilka zadań maturalnych z kiełbasy.

Post autor: max » 31 sie 2007, o 15:13

\(\displaystyle{ D_{f} = [0, 4]}\)
Załóżmy, że \(\displaystyle{ x_{1}, x_{2}\in [0, 4]}\) przy czym \(\displaystyle{ x_{1} < x_{2}}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})} = (\sqrt{4 - x_{1}} - 2\sqrt{x_{1}}) - (\sqrt{4 - x_{2}} - 2\sqrt{x_{2}}}) = \\
= (\sqrt{4 - x_{1}} - \sqrt{4 - x_{2}})\cdot\frac{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 -x_{2}}}{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 - x_{2}}} + 2(\sqrt{x_{1}} - \sqrt{x_{2}})\cdot \frac{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} =\\
= \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{4 - x_{1}} + \sqrt{4 -x_{2}}}+ 2\cdot \frac{x_{2} - x_{1}}{\sqrt{x_{1}} + \sqrt{x_{2}}} > 0}\)

Zatem na mocy założenia \(\displaystyle{ f_{(x_{1})} - f_{(x_{2})} > 0}\), więc funkcja jest malejąca.

ODPOWIEDZ