zły wynik

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

zły wynik

Post autor: setch » 30 sie 2007, o 17:39

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft (\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\\
f(x)=\left (\frac{\tan x}{x}\right)^{\frac{1}{x}}\\
\ln f(x)= \frac{\ln \frac{\tan x}{x}}{x}=\frac{\ln \tan x -\ln x}{x}\\
A=\lim_{x \to 0} \ln f(x)= \frac{\ln \tan x -\ln x}{x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} ft (\frac{1}{\cos ^2x \tan x}-\frac{1}{x}\right ) = \lim_{x \to 0} ft( \frac{1}{\cos x} -\frac{1}{x} \right)=-\infty\\
\lim_{x \to 0}f(x) =e^A=0}\)


W odpowiedziach jest, że ta granica wynosi 1. Ponadto z wykresu funkcji f(x) wynika równie, że granica wynosi 1.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
alia
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 102
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:39
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław
Pomógł: 23 razy

zły wynik

Post autor: alia » 30 sie 2007, o 17:49

skąd u Ciebie
\(\displaystyle{ \frac{1}{\cos^2{x}\tan{x}}=\frac{1}{\cos{x}} ?}\)
powinno być \(\displaystyle{ \frac{1}{\sin{x}\cos{x}}}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

zły wynik

Post autor: setch » 30 sie 2007, o 18:09

Licząc dalej spotykam kolejną przeszkodę.
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} ft( \frac{1}{0.5\sin 2x} -\frac{1}{x}\right) =
\lim_{x \to 0} \frac{2x-\sin 2x}{x \sin 2x} \stackrel{H}{=} \frac{2-2\cos 2x}{\sin 2x-2x\cos 2x} \stackrel{H}{=} \lim_{x \to 0} \frac{4\sin 2x}{2\cos 2x -2\cos 2x+4x\sin 2x}
= \lim_{x \to 0}\frac{1}{x}= +\infty}\)

Awatar użytkownika
dasmany
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 27 sie 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świnoujście
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

zły wynik

Post autor: dasmany » 30 sie 2007, o 22:22

setch pisze: \(\displaystyle{ \frac{2-2\cos 2x}{\sin 2x-2x\cos 2x}}\)
Dlaczego w mianowniku minus? Raczej plus powinien być. Poprawcie mnie jeśli się myle

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

zły wynik

Post autor: Amon-Ra » 30 sie 2007, o 23:09

Setch, no ja nie bardzo rozumiem, co Ty liczysz,ale wyraźnie widać, że w trzeciej linijce pierwszego postu otrzymujemy w liczniku w granicznej wartości symbol nieoznaczony ∞-∞, a to bynajmniej nie jest 0 i reguły de'lHospitala stosować tam nie możesz.

Doprowadzasz całość do postaci logarytmiczno-wykładniczej, bardzo dobrze. Skorzystaj teraz z faktu, że \(\displaystyle{ \frac{\tan x}{x}=\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1}{\cos{x}}}\), rozbij logarytm iloczynu na sumę logarytmów i dopiero wtedy korzystaj z reguły, którą będzie trzeba zastosować bodaj dwa razy, aby w końcu otrzymać poprawną odpowiedź, czyli 1.

ODPOWIEDZ