Matematyka.pl

Witam. Mam taką funkcję tworzącą:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{1+2x} + \frac{1}{2-x} + 1}\)

Co mam znaleźć? Wyraz ogólny ciągu

Zamieniam sobie:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \frac{1}{1- \left( -2x \right) } + \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}x} + 1}\)

I teraz tak:

\(\displaystyle{ f \left( x \right) = \sum_{n=0}^{ \infty } \left( -2x \right) ^n + \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{1}{2}x \right) ^n + 1}\)

I co teraz z tą jedynką? Zamieniać ją na \(\displaystyle{ 1 = \frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}} \rightarrow \sum_{n=0}^{ \infty } \left( \frac{1}{2} \right) ^n}\)?

Nie wiem co dalej

\(\displaystyle{ f(x) = \frac 52 + \sum_{n=1}^\infty (-2^n + 2^{-n-1}) x^n}\) (zgubiłeś połówkę w drugim składniku).

Ale co teraz z tym \(\displaystyle{ \frac{5}{2}}\)?

Bez kija nie podchodź, czytaj: tak już jest dobrze.

Medea 2 pisze:\(\displaystyle{ f(x) = \frac 52 + \sum_{n=1}^\infty (-2^n + 2^{-n-1}) x^n}\) (zgubiłeś połówkę w drugim składniku).

\(\displaystyle{ f(x) = \frac 52 + \sum_{n=1}^\infty \left((-2)^n + 2^{-n-1}\right) x^n}\) (zgubiłaś nawiasy w pierwszym składniku)