Urna z kulami

Definicja klasyczna. Prawdopodobieństwo warunkowe i całkowite. Zmienne losowe i ich parametry. Niezależność. Prawa wielkich liczb oraz centralne twierdzenia graniczne i ich zastosowania.
Wojteks
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 35
Rejestracja: 7 sty 2007, o 13:21
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rybnik
Pomógł: 1 raz

Urna z kulami

Post autor: Wojteks » 30 sie 2007, o 15:52

W trzech urnach znajduja sie kule biale i czerwone, przy czym w kazdej z nich jest tyle samo kul bialych i co i czerwonych. Z kazdej urny losujemy jedna kule i nie ogladajac jej wrzucamy do urny czwartej poczatkowo pustej, a nastepnie z czwartej urny losujemy jedna kule. Obliczyc prawdopodobienstwo wylosowania kuli bialej z czwartej urny
Ostatnio zmieniony 5 wrz 2007, o 23:45 przez Wojteks, łącznie zmieniany 1 raz.

Awatar użytkownika
Plant
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 331
Rejestracja: 16 sty 2006, o 21:30
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Grudziadz/Warszawa
Pomógł: 70 razy

Urna z kulami

Post autor: Plant » 30 sie 2007, o 16:47

Na "chłopski" rozum: kule czerwone niczym się nie różnią od białych, ich licznba jest taka sama. Podczas ostatniego losowania możemy wyciągnąć albo kulę białą, albo kulę czerwoną, innej możliwości nie ma, a jak wyżej napisałem warunki na wyciągnięcie każdej z nich są takie same. Czyli obie kule mają te samo prawdopodobieństwo na wyciągnięcie, czyli \(\displaystyle{ \frac{1}{2}}\)

Uzasadnienie matematyczne:
Mamy 3 miejsca w czwartej urnie. Na każde miejsce jest prawdopodobieństwo 1/2 na kulę czerwoną i 1/2 a białą (bo w poprzednich urnach było ich po równo).
Wybieramy zatem jedno z tych miejsc:
\(\displaystyle{ p=\frac{{3\choose 1}*\frac{1}{2}}{3}=\frac{1}{2}}\)
Dzielę przez 3, ponieważ są 3 miejsca.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Urna z kulami

Post autor: scyth » 30 sie 2007, o 16:48

Liczmy od końca:
jeśli w czwartej urnie są:
3 białe - prawdopodobieństwo białej=1
2 białe - 2/3
1 biała - 1/3
same czerwone - 0
Z kolei prawdopodobieństwo każdego z tych układów jest takie samo (bo każdą kulę losujemy z prawdopodobieństwem 0,5) i wynosi 0,25 (cztery możliwe układy). Mamy zatem:
\(\displaystyle{ 0,25 (1+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}+0)=0,25 2 = 0,5}\).

ODPOWIEDZ