Algebra Boole'a

[Krwawa Joanna]

Dowieść twierdzenia teorii algebr Boole’a: \(\displaystyle{ a \le b \Rightarrow -b \le -a}\) gdzie \(\displaystyle{ \le}\) jest relacją porządku boolowskiego. Nie za bardzo wiem jak za to się zabrać, dopiero zaczynam przygodę z algebrami Boole'a. Proszę o jakieś wytłumaczenie

[qed]

Algebra Boole'a jest zdefiniowana sygnaturą \(\displaystyle{ \mathcal{B} = \langle B, \wedge, \vee, -, 0, 1 \rangle}\), gdzie \(\displaystyle{ \langle B, \wedge, \vee \rangle}\) jest kratą dystrybutywną (czy wiesz, co to znaczy?), a sens \(\displaystyle{ -}\), \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) jest taki:
\(\displaystyle{ a \wedge 1 = a\\
a \wedge 0 = 0\\
a \vee 1 = 1\\
a \vee 0 = a\\}\)
oraz
\(\displaystyle{ a \wedge -a = 0\\
a \vee -a = 1\\}\)

Twoim zadaniem jest wykazać, że jeśli \(\displaystyle{ a\le b}\), to \(\displaystyle{ -b\le -a}\). Musisz to zrobić wykorzystując powyższą aksjomatykę algebry Boole'a. Jeśli nie masz jeszcze wyrobionej intuicji, to polecam zinterpretować \(\displaystyle{ \mathcal{B}}\) jako rodzinę podzbiórów jakiegoś zbioru \(\displaystyle{ X}\), \(\displaystyle{ \wedge}\) jako przekrój zbiorów (\(\displaystyle{ \cap}\)), a \(\displaystyle{ \vee}\) - sumę zbiorów (\(\displaystyle{ \cup}\)). Wtedy \(\displaystyle{ \le}\) oznacza \(\displaystyle{ \subset}\), a \(\displaystyle{ 0}\) i \(\displaystyle{ 1}\) to, odpowiednio, \(\displaystyle{ \emptyset}\) i \(\displaystyle{ X}\). O operacji "\(\displaystyle{ -}\)" myśl natomiast jak o dopełnieniu zbioru w \(\displaystyle{ X}\) (\(\displaystyle{ A' = X\setminus A}\)).

Spróbuj teraz i daj znać, jak Ci pójdzie!


Edit:
Zapomniałem:
\(\displaystyle{ a\le b}\) wtedy i tylko wtedy, gdy \(\displaystyle{ a\wedge b = a}\) (lub, alternatywnie, \(\displaystyle{ a\vee b = b}\)).

[Tomasz Tkaczyk]

Interpretacja algebry Boole`a z porządkiem jako ciało zbiorów z relacją inkluzji ma jak najbardziej sens, gdyż tak naprawdę nie ma innych algebr Boole`a. Są to dokładnie (pewne) ciała zbiorów i tak należy o nich myśleć. Inna intuicja jest niepotrzebna.