Matematyka.pl

\(\displaystyle{ {x^2}y`=x^2+xy+y^2}\)

i jeszcze jedno

\(\displaystyle{ y`+ysinx=e^{cosx}}\)

ad 1.
Podzielmy r. obustronnie przez y^2
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{y^2}y' = \frac{x^2}{y^2} + \frac{x}{y} + 1}\)
Podstawmy teraz \(\displaystyle{ u = \frac{x}{y}, \quad y' = \frac{u - x u'}{u^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{u - x u'}{u^2} u^2 = u^2 + u + 1\\
u - xu' = u^2 + u + 1\\
\frac{du}{u^2 + 1} = - \frac{dx}{x}\\
\arctan u = - \ln |x| + C\\
\frac{x}{y} = \tan \left( C - \ln |x| \right)\\
y = \frac{x}{ \tan \left( C - \ln |x| \right) }}\)

ad 2.
A tutaj w czym jest problem

no wlasnie rozwiazuje uzmienniam stale skracam i nie potrafie, moze gdzies po drodze jakis blad robie, ale nie chce wyjsc, fajnie jakbys to rozwiazal;/

[ Dodano: 30 Sierpnia 2007, 13:08 ]
\(\displaystyle{ u'=\frac{du}{dx}}\)?

ad 2.
Najpierw r. jednorodne:
\(\displaystyle{ \frac{dy}{y} = - \cos x \, dx\\
\ln |y| = \cos x + C\\
y = C e^{\cos x}}\)
Uzmienniamy stałą: \(\displaystyle{ y = u e^{\cos x}, \quad y' = u' e^{\cos x} - u \sin x e^{\cos x}}\)
Podstawiamy do równania:
\(\displaystyle{ u' e^{\cos x} - u \sin x e^{\cos x} + u \sin x e^{\cos x} = e^{\cos x}\\
u' = 1\\
u = x + C\\
y = (x + C) e^{\cos x}}\)

juz wiem gdzie mialem problem
ja po prostu zostawilem sobie \(\displaystyle{ e^C}\) i zapomnialem ze mozna to zamienic na jakies inne C omg dzieki wielkie