Matematyka.pl

Dany jest czworościan ABCD. Udowodnić, że jeżeli dwusieczna kąta ADB jest prostopadła do dwusiecznej kąta BDC, to jest ona również prostopadła do dwusiecznej kąta ADC.

Dany jest czworościan ABCD.

Czy chodzi o czworościan foremny, czy o dowolny ostrosłup trójkątny?

To jest zadanie 11. z pierwszego etapu 62 OM .

Gdyby przedłużyć krawędzie czworościanu będące ramionami kąta do półprostych to dwusieczna będzie ich osią symetrii.
Niech D będzie w środku układu współrzędnych a dodatnie półosie OX i OY będą dwusiecznymi odpowiednio kąta ADB i BDC. Zakładam że półprosta zawierająca ramię DB przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (a,b,-c)}\) gdzie a,b,c są dodatnie. Wtedy symetralna do niej półprosta zawierająca ramię DA przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (-a,b,c)}\), a półprosta zawierająca ramię DC przechodzi przez punkt \(\displaystyle{ (a,-b,c)}\). Stąd trzecia dwusieczna jest półprostą przechodzącą przez punkt \(\displaystyle{ (0,0,c)}\) czyli jest dodatnią półosią OZ prostopadłą do dwóch pozostałych dwusiecznych (półosi OX i OY) .

Dzięki za pomoc!