Matematyka.pl

Fizyk Jean-Marc Richard udowodnił niedawno następującą własność elipsy. Dla każdego punktu na elipsie istnieje taki równoległobok wpisany w tę elipsę, którego jednym z wierzchołków jest ten punkt oraz którego obwód jest maksymalny spośród wszystkich równoległoboków wpisanych w tę elipsę.

• J.-M. Richard, Safe domain and elementary geometry, Eur. J. Phys. 25 (2004) 835-844.

Inny dowód podali Alain Connes i Don Zagier

• A. Connes and D. Zagier,

  Kod: Zaznacz cały

  http://people.mpim-bonn.mpg.de/zagier/files/amm/114/fulltext.pdf

  , The American Mathematical Monthly, 114, No. 10 (Dec., 2007), 909-914.

Może ktoś ma ochotę się wspólnie zastanowić nad możliwym uogólnieniem na wyżej wymiarowe równoległościany wpisane w elipsoidy. Oczywiście zamiast obwodu pytalibyśmy o \(\displaystyle{ (n-1)}\)-wymiarową miarę brzegu takiego równoległościanu.

Oznaczmy n-wymiarową elipsoidę przez \(\displaystyle{ \varepsilon^{N}}\). Skorzystajmy z faktu, że każda elipsoida składa się z nieskończenie wielu elips,
które są do siebie podobne. Niech \(\displaystyle{ v_{0}}\) będzie dowolnym punktem należącym do \(\displaystyle{ \varepsilon^{3}}\) . Oznaczmy równoległobok
o najdłuższym obwodzie przez \(\displaystyle{ \rho_{v}}\) , którego wierzchołekiem jest punkt \(\displaystyle{ v_{0}}\) . Rozważmy zbiór punktów, które są wierzchołkami równoległoboku o największym obwodzie i podobnymi do \(\displaystyle{ \rho_{v}}\) , które są opisane na danej elipsie, a każda elipsa należy do danej \(\displaystyle{ \varepsilon^{3}}\) Łatwo można zauważyć, że geometrycznie ten zbiór wygląda jak ostrosłup o podstawie \(\displaystyle{ \rho_{v}}\) . Problem w tym, że ostrosłup nie jest równoległościanem, zatem chcąc uzyskać figurę o największym obwodzie musimy "obciąc" czubek ostrosłupa równolegle do jego podstawy, lecz pojawia się kolejny problem, a mianowicie dla każdego skrócenia czubka możemy znaleźć krótszy. Innymi słowy, szukając supremum przedziału pół-otwartego \(\displaystyle{ [0,c)}\), a jak wiadomo kres górny takiego zbioru to c, a gdy tak jest uzyskujemy ostrosłup, zatem nie istnieje równoległościan wpisany w \(\displaystyle{ \varepsilon^{3}}\) . Z powyższego faktu wynika, że nie da się znaleźć maksymalnego równoległościanu w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^{N}, N \ge 3}\) , ponieważ N wymiar składa się z N-1 wymiaru, a skoro nie jest możliwe dla trójwymiaru to dla czwartego też, a skoro tak to dla piątego też nie itd... zakładając metrykę euklidesową \(\displaystyle{ d(x,y)= \sqrt{\sum_{i=1}^{N} (a_{ix}-b_{iy})^{2}}}\)
lecz nie umiem rozstrzygnąć, czy istnieje pewna metryka d, która spełniałaby twierdzenie Jean-Marc Richard'a na wyższych wymiarach.
Życzę wszystkim miłego dnia i chwała matematyce!