granica i de L'Hospital

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica i de L'Hospital

Post autor: setch » 29 sie 2007, o 21:03

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{x-\mbox{tg x} }{x^2\mbox{tg x}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

jasny
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 845
Rejestracja: 2 kwie 2006, o 23:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Limanowa
Pomógł: 191 razy

granica i de L'Hospital

Post autor: jasny » 30 sie 2007, o 10:31

\(\displaystyle{ \lim_{x\to0}\frac{x-\tan{x}}{x^2\tan{x}}=\lim_{x\to0}\frac{(x-\tan{x})'}{(x^2\tan{x})'}=\lim_{x\to0}\frac{1-\frac{1}{\cos^2x}}{2x\tan{x}+\frac{x^2}{\cos^2x}}= \lim_{x\to0}\frac{\cos^2x-1}{2x\tan{x}\cos^2x+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{\cos^2x-1}{x\sin(2x)+x^2}=\lim_{x\to0}\frac{(\cos^2x-1)'}{(x\sin(2x)+x^2)'}= \lim_{x\to0}\frac{2\cos{x}(-\sin{x})}{\sin(2x)+2x\cos(2x)+2x}=\lim_{x\to0}\frac{(-\sin(2x))'}{(\sin(2x)+2x\cos(2x)+2x)'}= \lim_{x\to0}\frac{-2\cos(2x)}{2\cos(2x)+2\cos(2x)-4x\sin(2x)+2}=\frac{-2}{6}=-\frac{1}{3}}\)

ODPOWIEDZ