Obliczyć sume elementarnymi metodami

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
Arsakes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 29 sie 2007, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Regnum Poloniae

Obliczyć sume elementarnymi metodami

Post autor: Arsakes » 29 sie 2007, o 19:48

Witam,
problem polega na tym be elementarnymi metodami(przekształcenia) i korzystając z własności granicy, pokazać że następująca suma(całka):

\(\displaystyle{ \int\limits_{a}^{b} \frac{dr}{r^{2}}}\)

jest równa \(\displaystyle{ \frac{1}{r_{a}} - \frac{1}{r_{b}}}\)

aha i jeszcze \(\displaystyle{ r_{b}> r_{a} > 0}\)
Z góry dziękuje za wszelką formę pomocy.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć sume elementarnymi metodami

Post autor: luka52 » 30 sie 2007, o 13:44

Korzystając z def. całki oznaczonej możemy zapisać następującą sumę:
\(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n ft( \frac{1}{\left( a + \frac{(b-a)i}{n} \right)^2} \frac{b-a}{n} \right) = \lim_{n \to +\infty} \frac{n ft( \psi ' ft( 1 - \frac{bn}{a-b} \right) - \psi ' ft( 1 - \frac{an}{a-b} \right) \right)}{a-b}}\)
Nie wiem czy można to jakoś uprościć, ale przy obliczeniach numerycznych wszystko się zgadza ??:

Arsakes
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 29 sie 2007, o 19:32
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Regnum Poloniae

Obliczyć sume elementarnymi metodami

Post autor: Arsakes » 30 sie 2007, o 15:56

Dziękuje za odpowiedź,
Nie rozumiem jednak tego przejścia, co oznacza litera psi z apostrofem po prawej stronie równości? Domyślam się że jest to pochodna ale czego?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

Obliczyć sume elementarnymi metodami

Post autor: luka52 » 30 sie 2007, o 17:35

Co do tego oznaczenia \(\displaystyle{ \psi'}\) oznacza pochodną funkcji http://en.wikipedia.org/wiki/Digamma_function (nie mam pojęcia jak to się na j. polski tłumaczy).

A co do przejścia, no to cóż - trzeba wykonać takie sumowanie i niestety nie wygląda to prosto

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Obliczyć sume elementarnymi metodami

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 10:50

Można obrać:
\(\displaystyle{ x_{i} = \sqrt[n]{a^{n - i}b^{i}} = a\left(\sqrt[n]{\frac{b}{a}}\right)^{i}}\)
i obliczyć \(\displaystyle{ \lim_{n\to }\sum_{i = 0}^{n - 1}\frac{\Delta x_{i}}{(x_{i})^{2}}}\)

ODPOWIEDZ