Matematyka.pl

Pilnie poszukiwany przykład rozwiązania całki podwójnej z definicji. Bede wdzieczna za każdą pomoc...

ja znalazłem narazie tylko definicję.
Jezeli dla kazdego normalnego ciągu podziałów prostokąta P ciąg sum całkowych \(\displaystyle{ (S_{n})}\) jest zbieżny do tej samej granicy własciwej, niezależnej od wyboru punktów \(\displaystyle{ A_{k}}\), to tę granicę nazywamy całka podwójną funkcji f(x,y) w prostokącie P. Definicję można krótko zapisać wzorem:
\(\displaystyle{ \iint_{P} f(x,y) d\sigma = \lim_{\delta_{n}\to 0} \sum_{k=1}^{n} f(x_{k}, y_{k}) \Delta\sigma_{k}}\)
Przykladu poszukam jeszcze..

tez sie przyda

znalazlem cos takiego. nie wiem na ile to bedzie pomocne.
Funkcja z=c jest calkowalna w kazdym prostokacie i
\(\displaystyle{ \iint_{D} c d\sigma = c|D|}\)
(|D| oznacza pole prostokata D).
tworzac bowie dowolny podzial \(\displaystyle{ \delta}\) i oberając punkty \(\displaystyle{ (x_{1},y_{1}), (x_{2},y_{2}), ...}\) dowolnie z kazdego prostokata wchodzacego w sklad podzialu \(\displaystyle{ \delta}\), widzimy, ze
\(\displaystyle{ f(x_{1},y_{1})=c , f(x_{2},y_{2})=c, ...}\)
zatem
\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} = c\Delta\sigma_{1}+c\Delta\sigma_{1}+...+c\Delta\sigma_{n} = c|D|}\).
W myśl więc definicji:
\(\displaystyle{ \iint_{D} c d\sigma = c|D|}\)

wrzucam punkta

A np. w sposób analogiczny do obliczania całki pojedyńczej?
Np. w celu obliczenia: \(\displaystyle{ \int\limits_0^1 \int\limits_0^1 x y \, \mbox{d}y \, }\)
Liczymy:
\(\displaystyle{ \lim_{m \to +\infty} \lim_{n \to +\infty} \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \left( \frac{i j}{n m} \frac{1}{mn} \right) = \ldots = \frac{1}{4}}\)

można w ten sposób ...

[ Dodano: 31 Sierpnia 2007, 11:20 ]
A co z kolejnością wykonywania działań. np. w całce:
\(\displaystyle{ \int\limits_{0}^{1} dx \int\limits_{2}^{3} x^3y dy}\) wykonujemy najpierw sumę dotyczącą y-ka, a potem x-ksa a na koniec przechodzimy do granic
i jaka kolejnośc co do granic?

i jaka kolejnośc co do granic?

Raczej dowolna. Jeżeli w przykładzie który podałem najpierw obliczana byłaby granica przy \(\displaystyle{ n \to +\infty}\) a następnie granica przy \(\displaystyle{ m \to +\infty}\) - nie zmieniłoby to wyniku.
Zresztą takie proste przykłady całek podwójnych można obliczyć jako iloczyn całek pojedyńczych.

zawsze dowolna