Matematyka.pl

Czołem, potrzebuję pomocy w przykładzie:

\(\displaystyle{ \frac{arcsinx}{ \sqrt{{ (1- x^{2})^{3} }} }}\)
potęga trzecia dotyczy nawiasu pod pierwiastkiem

Przyznaję, że nie bardzo wiem, od której strony się za to zabrać. W teorii przez części, ale w praktyce chyba nie widzę elementu, który pozwoliłby mi łatwo wyeliminować potęgę trzecią z mianownika i pomóc w rozwiązaniu zadania.

sqrt{}, nie sqrt().

Na początek ja proponuję podstawienie \(\displaystyle{ u=\arcsin x}\) i \(\displaystyle{ du=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx}\) i przez części.

Próbowałem dokładnie tego samego, ale nie wiem, co zrobić w tym momencie z potęgą 3 w mianowniku.

Fenrir, popraw latex, bo cie zglosze.

Może mała podpowiedź: użyj \(\displaystyle{ \sec}\)

Nie wiem, czy odrobinę wygodniej nie byłoby, gdyby najpierw policzyć
\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }}\)
- gdy się podstawi \(\displaystyle{ x=\sin t}\), a potem wróci z podstawieniem, to właściwie w pamięci wychodzi
\(\displaystyle{ \tg(\arcsin x)+C}\)
zaś następnie, wracając do wyjściowej całki, liczymy przez części,
\(\displaystyle{ u=\arcsin x, dv= \frac{1}{ \sqrt{(1-x^{2})^{3}} }, v=\tg(\arcsin x)}\)

Wtedy po scałkowaniu przez części błyskawicznie otrzymamy wynik końcowy w postaci
\(\displaystyle{ \arcsin x \cdot \tg(\arcsin x)+\ln|\cos(\arcsin x)|+C}\)
i wystarczy pokombinować z tożsamościami trygonometrycznymi, żeby to trochę uprościć. No ale co kto lubi.

\(\displaystyle{ \int\frac{\arcsin x}{\sqrt{(1-x^2)^3}}dx=\int u \sec^2 u du=u\tg u-\int\frac{\sin u}{\cos u} du \bigg| s=\cos u}\)
\(\displaystyle{ =u\tg u+\int\frac{1}{s}ds=u\tg u +\ln s+C=\arcsin x\tg(\arcsin x)+\ln(\cos(\arcsin x))+C}\)
\(\displaystyle{ =\frac{x\arcsin x}{\sqrt{1-x^2}}+\frac{1}{2}\ln(1-x^2)+C}\)

Wg mnie sposób wcale wygodny.

Słusznie, źle spojrzałem, tak jest równie zgrabnie, jeśli nie bardziej. Zwracam 'onor.