prosta zbieżność szeregu

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

prosta zbieżność szeregu

Post autor: Novy » 29 sie 2007, o 14:25

\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\ln^{2}(2n)}{n^{3}}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

prosta zbieżność szeregu

Post autor: max » 29 sie 2007, o 17:31

Ponieważ:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty} \frac{\ln^{2}(2n)}{n} = 0}\)
to istnieje takie \(\displaystyle{ n_{0}\in \mathbb{N}}\), że dla każdego \(\displaystyle{ n > n_{0}}\) spełniona jest nierówność:
\(\displaystyle{ \ln^{2}(2n) < n}\)
a tym samym również:
\(\displaystyle{ \frac{\ln^{2}(2n)}{n^{3}} < \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n^{2}}}\)
i wobec kryterium porównawczego oraz zbieżności szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}}\) możemy wnioskować, że badany szereg jest zbieżny.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

prosta zbieżność szeregu

Post autor: Novy » 29 sie 2007, o 23:00

czyli normalnie kryt. porownawcze + szereg harmoniczny. jasne, dzieki
a jeszcze jedno pytanko, banalne: jak miałbym prosciutki szereg 1/n, to jego granica jest 0. Czyli nie wiadomo czy zbiezy, czy rozbiezny?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

prosta zbieżność szeregu

Post autor: max » 29 sie 2007, o 23:06

Chodzi Ci o szereg \(\displaystyle{ \sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}}\)?
Najprościej będzie posłużyć się kryterium całkowym:
Funkcja \(\displaystyle{ f(x) = \frac{1}{x}}\) jest w przedziale \(\displaystyle{ [1, +\infty]}\) malejąca i przyjmuje wartości dodatnie, przy czym:
\(\displaystyle{ \int f(x)\, dx = \int \frac{dx}{x} = \ln |x|}\)
oraz
\(\displaystyle{ \lim_{x\to \infty}\ln x = +\infty}\)
czyli szereg jest rozbieżny.
Zresztą można też tę rozbieżność pokazać elementarnie, wychodząc od nierówności:
\(\displaystyle{ \frac{1}{n + 1} + \frac{1}{n + 1} + \ldots + \frac{1}{2n} > \frac{n}{2n} = \frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ