Obliczyć granice

[Kubagwk]

Czy ktoś mógłby mi rozwiązać te granice bo ja nie wiem jak je zrobić, jak można to krok po kroku będę wdzięczny

\(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to \((0,0)} \frac {x^{2}y^{2}}{x-y}}\) , \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to \((0,0)} \frac {1- cos(x^{2}+y^{2})}{(x^{2}+y^{2})^{2}}}\) , \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to \((0,0)} \frac {\sqrt{x^{2}y^{2} + 1} - 1}{x^{2}+y^{2}}}\)

[max]

Pierwsza granica nie istnieje. Udowodnimy to nie wprost:
Załóżmy, że \(\displaystyle{ \lim_{(x, y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x - y}}\) istnieje.
W myśl definicji granicy funkcji dwóch zmiennych wyrażonej 'w języku ciągów' dla każdej pary ciągów \(\displaystyle{ \big((x_{n})_{n\in \mathbb{N}}, (y_{n})_{n\in \mathbb{N}}\big)}\) spełniającej warunki:
\(\displaystyle{ (*)\begin{cases}\forall n \in \mathbb{N} \ \big(x_{n}\neq 0 \ \wedge \ y_{n}\neq 0 \ \wedge \ x_{n} \neq y_{n}\big)\\
\lim\limits_{n\to \infty} x_{n} = 0 \\ \lim\limits_{n\to \infty} y_{n} = 0\end{cases}}\)
granica \(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}^{2}y_{n}^{2}}{x_{n} - y_{n}}}\) istnieje i jest równa granicy \(\displaystyle{ \lim_{(x, y)\to (0,0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x - y}}\).

Niech \(\displaystyle{ x_{n} = \frac{2}{n},\ y_{n} = \frac{1}{n}}\). Wtedy oczywiście warunki \(\displaystyle{ (*)}\) są spełnione, oraz:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}^{2}y_{n}^{2}}{x_{n} - y_{n}} = \lim_{n\to \infty}\frac{4}{n^{3}} = 0}\)
Ale jeśli obierzemy \(\displaystyle{ x_{n} = \frac{1}{n} + \frac{1}{n^{4}}, \ y_{n} = \frac{1}{n}}\), to również spełnione są warunki \(\displaystyle{ (*)}\), przy czym jest:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to \infty}\frac{x_{n}^{2}y_{n}^{2}}{x_{n} - y_{n}} = \lim_{n\to\infty}\left(1 + \frac{2}{n} + \frac{1}{n^{14}}\right) = 1}\)
Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, która dowodzi, że \(\displaystyle{ \lim_{(x, y)\to (0, 0)}\frac{x^{2}y^{2}}{x - y}}\) nie istnieje.


W drugiej granicy wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x^{2} + y^{2} = t}\), a to sprowadzi ją do granicy jednej zmiennej, którą już nietrudno obliczyć (np korzystając z wzoru na cosinus podwojonego kąta).


W trzeciej można wymnożyć licznik i mianownik wyrażenia pod granicą przez:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}y^{2} + 1} + 1}\)
otrzymując:
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{x^{2}y^{2} + 1} - 1}{x^{2}+y^{2}} =\frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2}+y^{2})(\sqrt{x^{2}y^{2} + 1} + 1)}}\)
a następnie skorzystać z nierówności między średnią geometryczną a harmoniczną w wyniku czego dostaniemy:
\(\displaystyle{ \frac{x^{2}y^{2}}{(x^{2} + y^{2})(\sqrt{x^{2}y^{2} + 1} + 1)} \leqslant \frac{\sqrt{x^{2}y^{2}}}{2(\sqrt{x^{2}y^{2} + 1} + 1)}}\)
Ponieważ górne ograniczenie zbiega do zera, a funkcja pod granicą dla dowolnych argumentów przyjmuje wartość dodatnią, to na mocy twierdzenia o trzech funkcjach granica wynosi zero.

[Kubagwk]

mam pytanie, dlaczego w przypadku pierwszej granicy przyjmujesz że\(\displaystyle{ x_{n} = \frac {2}{n} , y_{n} = \frac {1}{n}}\) potem że \(\displaystyle{ x_{n} = \frac {1}{n} + \frac{1}{n^{4}} , y_{n} = \frac {1}{n}}\).
Dlaczego wybierasz akurat takie punkty? Czy musisz takie wybrać aby po podstawieniu obie granice były różne ? A jeśli tak to czemu trzeba wybrać granice różne i co by się stało jak by wyszły takie same ?

[max]

Chcę wykazać, że granica nie istnieje, więc wybieram takie ciągi, aby granice wyszły różne - po to, aby doprowadzić do sprzeczności z założeniem, o istnieniu tej granicy. Jeśli granice byłby równe, to nic byśmy nie uzyskali - tzn wiedzielibyśmy, że dla tych konkretnych dwóch par ciągów granice są równe, ale to ani nie przeczy istnieniu granicy, ani też nie wyklucza takiej możliwości, że dla pewnych innych dwóch par ciągów analogiczne granice się różnią...

[Kubagwk]

Już rozumiem, czyli zgadza się to z tym co miałem w zeszycie dzięki za pomoc

[ Dodano: 3 Września 2007, 20:29 ]
a w granicy \(\displaystyle{ \lim_{(x,y)\to \((0,0)} \frac {x^{2}y^{2}}{x^{4}-y^{4}}}\) zapewne tutaj granica nie istnieje ale jakie xn i yn trzeba dobrać aby to udowodnić ?