Zadanie
\(\displaystyle{ X}\)- dowolny zbiór
Pokazać, że odwzorowanie \(\displaystyle{ \mu : 2^{X} \rightarrow R_{+} \cup +\infty}\) dane wzorem
\(\displaystyle{ \mu(A) =\begin{cases} 0 &\text{dla } A=\emptyset\\ \#A &\text{dla } A- skonczone \\ +\infty &\text{dla } A- nieskonczone \end{cases}}\)
jest miarą.
Bardzo proszę o pomoc. Krok po kroku.
Odwzorowanie jest miarą
-
Premislav
- Użytkownik
- Posty: 15496
- Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 195 razy
- Pomógł: 5224 razy
Odwzorowanie jest miarą
Wystarczy, że sprawdzisz, czy spełnione są takie warunki:
1. \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\) (oczywiste z uwagi na definicję "Twojej" funkcji \(\displaystyle{ \mu}\))
2. Dla dowolnego ciągu zbiorów \(\displaystyle{ (A_{n})_{n}, A_{n} \in 2^X}\) parami rozłącznych mamy \(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_{n} \right) = \sum_{n=1}^{ \infty }\mu(A_{n})}\)
Przejdźmy od razu do punktu drugiego. Jeśli w ciągu \(\displaystyle{ (A_{n})_{n \in \NN^{+}}}\) występuje nieskończenie wiele zbiorów niepustych, to jaka jest moc \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} A_{n}}\) z uwagi na rozłączność? Jaka wtedy jest suma \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \mu(A_{n})}\)?
Podobne rozumowanie, gdy występuje w tej sumie skończenie wiele zbiorów niepustych, lecz któryś z nich(z tych zbiorów) jest nieskończony, no i gdy mamy skończenie wiele zbiorów skończonych, to
suma zbiorów z lewej tez jest skończona, a zbiorki są parami rozłączne, więc liczba elementów sumy to suma liczby elementów poszczególnych zbiorów, a to właśnie będzie stać po prawej.
1. \(\displaystyle{ \mu(\emptyset)=0}\) (oczywiste z uwagi na definicję "Twojej" funkcji \(\displaystyle{ \mu}\))
2. Dla dowolnego ciągu zbiorów \(\displaystyle{ (A_{n})_{n}, A_{n} \in 2^X}\) parami rozłącznych mamy \(\displaystyle{ \mu\left( \bigcup_{n=1}^{ \infty }A_{n} \right) = \sum_{n=1}^{ \infty }\mu(A_{n})}\)
Przejdźmy od razu do punktu drugiego. Jeśli w ciągu \(\displaystyle{ (A_{n})_{n \in \NN^{+}}}\) występuje nieskończenie wiele zbiorów niepustych, to jaka jest moc \(\displaystyle{ \bigcup_{}^{} A_{n}}\) z uwagi na rozłączność? Jaka wtedy jest suma \(\displaystyle{ \sum_{}^{} \mu(A_{n})}\)?
Podobne rozumowanie, gdy występuje w tej sumie skończenie wiele zbiorów niepustych, lecz któryś z nich(z tych zbiorów) jest nieskończony, no i gdy mamy skończenie wiele zbiorów skończonych, to
suma zbiorów z lewej tez jest skończona, a zbiorki są parami rozłączne, więc liczba elementów sumy to suma liczby elementów poszczególnych zbiorów, a to właśnie będzie stać po prawej.