Matematyka.pl

Chcialbym pokazac,ze jesli \(\displaystyle{ f:\CC \rightarrow \CC}\) holomorficzna i \(\displaystyle{ \lim_{ z \to \infty }f(z)= \infty}\) to f jest wielomianem.
Zrobilem to w ten sposob:
\(\displaystyle{ g(z)=f( \frac{1}{z})}\) wtedy g ma biegun w zerze,a zatem:
\(\displaystyle{ g(z) = a_{-n}\frac{1}{z^n}+...+ a_{-1}\frac{1}{z} + a_0 + a_1z +...}\)
na pewnym dysku \(\displaystyle{ D(0,r) \setminus \left\{ 0\right\}}\)
Wtedy wracajac do f:
\(\displaystyle{ f(z) = a_{-n}z^n + ...+a_{-1}z + a_0 + a_{1}\frac{1}{z}+a_{2}\frac{1}{z^2}+..}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) takich,ze \(\displaystyle{ |z|>r}\)
Widac,ze wtedy istnieje \(\displaystyle{ R>r}\) takie,ze \(\displaystyle{ |f(z)|<C|z^n|}\) dla pewnej stalej C i \(\displaystyle{ |z|>R}\)
\(\displaystyle{ *}\)Teraz latwo pokazac,ze f jest wielomianem, korzystajac z postaci wspolczynnikow szerego f:
\(\displaystyle{ b_k = \int_{C(0,R)}^{} \frac{f(z)}{z^{k+1}}dz}\)

Jestem przekonany, ze da sie to zrobic jakos szybciej i bez uciekania sie do argumentu \(\displaystyle{ *}\)
Z gory dzieki za wskazowki.

Ale teza nie jest prawdziwa. Weź \(\displaystyle{ f(z) = e^z}\). Jest to funkcja holomorficzna, całkowita i nieograniczona.
Jeśli chodzi o Twój dowód, to błąd jest już na samym początku. Nie wiesz, czy \(\displaystyle{ g}\) ma biegun skończonego rzędu. Rozważ właśnie eksponens - wtedy widać, że \(\displaystyle{ g}\) ma tam osobliwość właściwą.

MadJack pisze:Weź \(\displaystyle{ f(z) = e^z}\). Jest to funkcja holomorficzna, całkowita i nieograniczona.

Ale założeń zadania nie spełnia.

MadJack pisze:Jeśli chodzi o Twój dowód, to błąd jest już na samym początku. Nie wiesz, czy \(\displaystyle{ g}\) ma biegun skończonego rzędu.

Ponownie odsyłam do treści zadania.-- 17 kwi 2016, o 11:42 --

leg14 pisze:\(\displaystyle{ f(z) = a_{-n}z^n + ...+a_{-1}z + a_0 + a_{1}\frac{1}{z}+a_{2}\frac{1}{z^2}+..}\)
dla \(\displaystyle{ z}\) takich,ze \(\displaystyle{ |z|>r}\)

A ponieważ \(\displaystyle{ f}\) jest holomorficzna, to rozwija się w szereg Taylora: \(\displaystyle{ f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}b_nz^n}\) dla \(\displaystyle{ z\in\mathbb{C}.}\) W rozważanym przez Ciebie pierścieniu oba szeregi Laurenta są równe, wiec mają takie same współczynniki.