Granica - mila i przyjemna

Własności ciągów i zbieżność, obliczanie granic. Twierdzenia o zbieżności.
5UCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jestes?
Podziękował: 1 raz

Granica - mila i przyjemna

Post autor: 5UCK » 29 sie 2007, o 12:03

Bardzo prosze o pomoc.

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} =}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: scyth » 29 sie 2007, o 12:10

\(\displaystyle{ \lim_{n\to } ft(\frac{n+3}{n+2}\right)^{5n+3} = \lim_{n\to } ft(\frac{n+2+1}{n+2}\right)^{5n+3} = \\
= \lim_{n\to } ft(\left(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5 ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{-7}= \\
= ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)^{n+2}\right)^5
ft(\lim_{n\to } ft(1+\frac{1}{n+2}\right)\right)^{-7}= \\
= e^5 1 = e^5}\)

Awatar użytkownika
borus87
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 27
Rejestracja: 6 sty 2007, o 16:20
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: UnderGround
Podziękował: 6 razy
Pomógł: 2 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: borus87 » 30 sie 2007, o 15:18

lub prościej:
\(\displaystyle{ \lim_{n\to } (\frac{n+3}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (\frac{n+2+1}{n+2})^{5n+3} = \lim_{n\to } (1 + \frac{1}{n+2})^{(5n+3) \frac{1}{n+2} \frac{n+2}{1}} = e^{\lim_{n\to } \frac{5n+3}{n+2}} = e^5}\)

po prostu przekształcamy całość do postaci \(\displaystyle{ (1+\frac{1}{x})^x=e}\) lub \(\displaystyle{ (1+x)^\frac{1}{x}=e}\) mnożąc potęgę przez drugi czynnik sumy (w razie różnicy minus wciągamy do mianownika) oraz jego odwrotność (co daje 1 i nie zmienia całego wyrażenia). Na koniec liczymy limka z potęgi e (w tym przypadku mamy prosto bo \(\displaystyle{ \frac{\infty}{\infty}}\))

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: setch » 30 sie 2007, o 15:22

borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.

Awatar użytkownika
bolo
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2470
Rejestracja: 2 lis 2004, o 08:28
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: BW
Podziękował: 8 razy
Pomógł: 191 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: bolo » 30 sie 2007, o 16:35

setch pisze:borus87, dokładniej do postaci \(\displaystyle{ \lim_{n \to +\infty} ft (1+\frac{1}{a_n} \right) ^{a_n}}\), której wartość granicy wynosi e.
Przy założeniu, że \(\displaystyle{ (a_{n})}\) jest ciągiem rozbieżnym.

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: scyth » 30 sie 2007, o 16:39

chyba załapał o co chodzi, może lepiej już zostawić...

5UCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jestes?
Podziękował: 1 raz

Granica - mila i przyjemna

Post autor: 5UCK » 31 sie 2007, o 22:19

Dziękuje ślicznie, jutro egzamin, walne jeszcze 2 browary i będzie dobrze. Btw: zalapalem

Awatar użytkownika
Amon-Ra
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 882
Rejestracja: 16 lis 2005, o 16:51
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tczew
Pomógł: 175 razy

Granica - mila i przyjemna

Post autor: Amon-Ra » 31 sie 2007, o 22:24

5UCK pisze:jutro egzamin, walne jeszcze 2 browary
Uważasz, że to pomoże?

5UCK
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 29 sie 2007, o 11:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: jestes?
Podziękował: 1 raz

Granica - mila i przyjemna

Post autor: 5UCK » 31 sie 2007, o 22:37

Życie studenta jest pełne stresu, więc elementem który może pomóc - piwo, aa co lepiej pomaga niż piwo? 2 piwka i lulu. Dzięki jeszcze raz za pomoc, kolorowych wam życze

ODPOWIEDZ