Suma n+m wyrazów

Dział przeznaczony przede wszystkim dla licealistów. Róznica i iloraz ciągu. Suma ciągu arytemtycznego oraz geometrycznego.
Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: Sylwek » 29 sie 2007, o 00:55

Miałem umieścić w kółku matematycznym, ale chyba tu się bardziej nadaje. Zadanie to rozwiązałem, więc zachęcam Was do spróbowania

Suma m początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego równa się n, natomiast suma n początkowych wyrazów ciągu równa się m (m≠n). Znajdź sumę m+n początkowych wyrazów ciągu.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: Piotr Rutkowski » 29 sie 2007, o 12:53

Hmmm, na razie robiłem to zadanie jakieś 10 minut, ale wyszło mi coś takiego:
\(\displaystyle{ n=\frac{r}{a+r-1}}\) oraz
\(\displaystyle{ m=\frac{r}{a+r-1}}\), co oczywiście przeczy założeniu, że m≠n. (to wychodzi gdy "na chama" podstawisz sobie m z pierwszego równania do drugiego i na odwrót). Gdzie zrobiłem błąd?

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: scyth » 29 sie 2007, o 13:04

\(\displaystyle{ \begin{cases} na+(n-1)r=m \\ ma+(m-1)r=n \end{cases}}\) oraz niech \(\displaystyle{ n < m, \ m=n+k}\). Wtedy:
\(\displaystyle{ \begin{cases} na+(n-1)r=n+k \\ na+(n-1)r+ka+kr=n \end{cases} \\
k(a+r+1) = 0 r=-a-1}\)

Z pierwszego równania:
\(\displaystyle{ na-(n-1)(a+1)=m \\
na-na-n+a+1=m a=m+n-1}\)

Zatem \(\displaystyle{ (m+n)a+(m+n-1)r=(m+n)(m+n-1)+(m+n-1)(-m-n)=0}\)

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 sie 2007, o 13:20

\(\displaystyle{ S_{m+n}=\frac{m+n}{m-n}(S_{m}-S_{n})}\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: Sylwek » 29 sie 2007, o 13:30

polskimisiek pisze:Gdzie zrobiłem błąd?
Zarówno m, jak i n to parametry, należy wyliczyć coś innego

scyth, próbuj dalej

mol_ksiazkowy, pięknie, na dodatek dzięki za bardzo przydatny wzór, bo widzę, że ogólnie jest on prawdziwy w ciągach arytmetycznych (mi rozwiązanie zajęło jedną kartkę A4 zapisaną wzdłuż i wszerz ), ale... tego zadania nie skończyłeś, chociaż już teraz to jest bułka z masłem i wystarczy podstawić.

Awatar użytkownika
mol_ksiazkowy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6933
Rejestracja: 9 maja 2006, o 12:35
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 2618 razy
Pomógł: 687 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: mol_ksiazkowy » 29 sie 2007, o 13:50

Sylwek napisał:
(mi rozwiązanie zajęło jedną kartkę A4 zapisaną wzdłuż i wszerz ), ale... tego zadania nie skończyłeś, chociaż już teraz to jest bułka z masłem i wystarczy podstawić

wiedza jak rozwiazac zadanie róznymi i niezaleznymi mateodami jest bardzo cenna. A czy znacie takie...w ciagu arytmet. sumy n i m pierwszych wyrazow sa równe, \(\displaystyle{ m n}\)tj \(\displaystyle{ S_m = S_n}\). Wykaz ze \(\displaystyle{ S_{m+n}=0}\).
Z naszego wzoru pojzie od razu, ale czy jest inna metoda....hm?
wsk \(\displaystyle{ r= -\frac{2a_1}{n+m-1}}\)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: Sylwek » 29 sie 2007, o 14:17

A więc:
\(\displaystyle{ ma_{1}+\frac{m(m-1)}{2}r=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}r \\ 2(m-n)a_{1}=r(n^2-n-m^2+m) \\ 2(m-n)a_{1}=r(m-n)(1-m-n) \\ (*) \ r=\frac{2a_{1}}{1-m-n}=-\frac{2a_{1}}{m+n-1} \\ S_{m+n}=\frac{2a_{1}+(m+n-1)r}{2}(m+n) \\ S_{m+n}=\frac{2a_{1}-(m+n-1)\frac{2a_{1}}{m+n-1}}{2}(m+n) \\ S_{m+n}=(a_{1}-a_{1})(m+n)=0}\)

(*) - ponieważ \(\displaystyle{ m q 1 n q 1 \iff m+n q 2 \iff m+n-1 q 1}\)

gienek1990
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 24
Rejestracja: 11 lut 2008, o 20:39
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Chruślina
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 2 razy

Suma n+m wyrazów

Post autor: gienek1990 » 31 mar 2008, o 00:40

mógłbym prosić o rozwiązanie pierwszego zadania bez wykorzystania wzoru na sumę

ODPOWIEDZ