Zbieżność jednostajna

[Benny01]

Zbadać zbieżność jednostajną ciągu funkcyjnego:
\(\displaystyle{ f_n(x)=n\ln\left(1+ \frac{1}{nx}\right), x\in(0; + \infty )}\)
\(\displaystyle{ f(x)=\lim_{n \rightarrow \infty }f_n(x)= \frac{1}{x}}\)
Funkcja graniczna jest ciągła.
Sprawdzam ile wynosi supremum, więc liczę pochodną i wynosi ona:
\(\displaystyle{ \ln \frac{1+nx}{nx} - \frac{1}{1+nx}}\)
I coś mi się wydaje, że ta pochodna się nie zeruje.
Czy to znaczy, że ucieka do nieskończoności, więc nie zachodzi jednostajna zbieżność?

wyjaśnione

[knrt]

Mnie pochodna wyszła \(\displaystyle{ \frac{-1}{x^2(nx+1)}}\) i się nie zeruje

[Benny01]

Tak, ta pochodna jest źle policzona

[Dasio11]

I coś mi się wydaje, że ta pochodna się nie zeruje.
Czy to znaczy, że ucieka do nieskończoności, więc nie zachodzi jednostajna zbieżność?

Nie, takiego wniosku nie można wyciągnąć.

Aby dowiedzieć się, czy zachodzi warunek na jednostajną zbieżność:

\(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} \sup_{x \in (0, \infty)} \left| f_n(x) - f(x) \right| = 0,}\)

na ogół trzeba oszacować supremum, które się tam pojawia, a w tym celu - zbadać przebieg zmienności funkcji \(\displaystyle{ g_n(x) = f_n(x) - f(x).}\) Dlatego standardowo liczy się pochodną \(\displaystyle{ g_n'(x),}\) jednak samo szukanie zer pochodnej nie wystarczy, żeby odpowiedzieć na kluczowe pytanie: czy \(\displaystyle{ g_n(x)}\) osiąga tylko małe wartości, gdy \(\displaystyle{ n}\) jest duże?


Jak można zabierać się za to zadanie:

Ustalmy \(\displaystyle{ n.}\) Jak wyliczono powyżej,

\(\displaystyle{ g_n'(x) = \frac{1}{x^2 \cdot (nx+1)}.}\)

[Brak minusa wynika stąd, że rozważam \(\displaystyle{ f_n(x) - f(x),}\) a wynik z poprzedniego posta jest dla \(\displaystyle{ f(x) - f_n(x)}\)]

Jest to funkcja dodatnia oraz

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} g_n'(x) = \infty, \quad \lim_{x \to \infty} g_n'(x) = 0,}\)

zatem \(\displaystyle{ g_n(x)}\) jest rosnąca; ma gwałtowny wzrost w okolicy \(\displaystyle{ x = 0,}\) a przy \(\displaystyle{ x \to \infty}\) rośnie już bardzo powoli.

Ponadto dla \(\displaystyle{ x \in (0, \infty)}\) mamy

\(\displaystyle{ g_n(x) = n \ln \left( 1 + \frac{1}{nx} \right) - \frac{1}{x} < n \cdot \frac{1}{nx} - \frac{1}{x} = 0}\)

na mocy nierówności \(\displaystyle{ \ln(1+y) < y}\) dla \(\displaystyle{ y > 0.}\)

Skoro funkcja \(\displaystyle{ g_n(x)}\) rośnie, ale jest wszędzie ujemna, to supremum \(\displaystyle{ |g_n(x)|}\) jest osiągane przy \(\displaystyle{ x \to 0^+.}\) Pozostaje więc stwierdzić, że

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^+} g_n(x) = \lim_{x \to 0^+} \left[ n \ln \left( 1 + \frac{1}{nx} \right) - \frac{1}{x} \right] = -\infty,}\)

zatem zbieżność nie jest jednostajna.


Przedstawione rozumowanie jest sensownym scenariuszem rozwiązywania zadania przez osobę, która dopiero się za nie zabiera. Jednak wiedząc już, że argumentu \(\displaystyle{ x \in (0, \infty)}\) psującego jednostajną zbieżność należy szukać w okolicy zera, możemy napisać takie rozwiązanie na czysto:

Weźmy \(\displaystyle{ \varepsilon = 1 - \ln 2.}\) Dobierając argument \(\displaystyle{ x = \frac{1}{n}}\) do każdego \(\displaystyle{ n \in \NN,}\) otrzymujemy

\(\displaystyle{ g_n(x) = n \ln \left( 1 + \frac{1}{nx} \right) - \frac{1}{x} = n( \ln 2 - 1 ) \le -\varepsilon.}\)

Do każdego \(\displaystyle{ n \in \NN}\) potrafimy więc dobrać takie \(\displaystyle{ x \in (0, \infty),}\) że \(\displaystyle{ |f_n(x) - f(x)| \ge \varepsilon,}\) więc ciąg \(\displaystyle{ f_n}\) nie jest zbieżny jednostajnie do \(\displaystyle{ f.}\)

[Benny01]

Dzięki