Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Definicja. Postać wykładnicza i trygonometryczna. Zagadnienia związane z ciałem liczb zespolonych.
Rzepacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sie 2007, o 22:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 1 raz

Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Post autor: Rzepacz » 28 sie 2007, o 23:25

Sprawdzić że liczba \(\displaystyle{ ( 1 - \frac{\sqrt{ 3-i }}{ 2} )^{12}}\) jest rzeczywista i obliczyć jej wartość

Wskazówka: \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{ 3-i }}{ 2} * \frac{\sqrt{ 3+i }}{ 2} = 1}\)

PLS..
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Kasiula@
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 145
Rejestracja: 24 lut 2007, o 16:18
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Podlasie
Podziękował: 7 razy
Pomógł: 27 razy

Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Post autor: Kasiula@ » 29 sie 2007, o 10:38

hmm...
\(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3-i}}{2} \frac{\sqrt{3+i}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{4} \not = 1}\)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Post autor: scyth » 29 sie 2007, o 10:55

Na pewno jest dobre równanie? Wychodzi:
\(\displaystyle{ \left(1 - \frac{\sqrt{3-i}}{2}\right)^{12} =
ft( \frac{19557}{32} - \frac{401265i}{512}\right) - ft(\frac{52459}{128} - \frac{48637i}{128}\right)\sqrt{3-i}}\)

A to chyba nie jest rzeczywiste.
Chyba, że chodzi o:
\(\displaystyle{ \left(1-\frac{\sqrt{3}-i}{2}\right)^{12}}\).
Wtedy też zachodzi \(\displaystyle{ \frac{\sqrt{3}-i}{2} \frac{\sqrt{3}+i}{2}=1}\).

Po podniesieniu tego poprawionego wyrażenia do 6 potęgi mamy liczbę urojoną (\(\displaystyle{ 26i - 15i\sqrt3}\)), ale jak to prosto wykazać to na razie nie wiem.

micholak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 158
Rejestracja: 1 lis 2005, o 21:40
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Pomógł: 41 razy

Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Post autor: micholak » 29 sie 2007, o 11:53

Niech \(\displaystyle{ e_{1}= \frac{\sqrt{3}+i}{2}}\) (jak widac pierwiastek 3 stopnia z jedynki)

\(\displaystyle{ (1-e_{1})^{3} = 1 - 3 e_{1} + 3 \overline{e_{1}} -1 = -3 (2Im e_{1}) = -3}\)

Stad
\(\displaystyle{ (1-e_{1})^{12}=81}\)

Ale
\(\displaystyle{ 1-\overline{e_{1}}=\overline{1-e_{1}}}\)

Stad
\(\displaystyle{ (1-\overline{e_{1}})^{12}= \overline{(1-e_{1})}^{12}=81}\)

Hmm nie chce mi sie tego zmazywac ale od razu mozna bylo liczyc dla szukanej liczby

Rzepacz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 28 sie 2007, o 22:57
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Tychy
Podziękował: 1 raz

Sprawdzić czy liczba jest rzeczywista

Post autor: Rzepacz » 7 wrz 2007, o 00:04

Wielkie Dzięki

ODPOWIEDZ