Trapez i przekątne

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
Safemod
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3
Rejestracja: 26 sie 2007, o 20:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świdnica

Trapez i przekątne

Post autor: Safemod » 28 sie 2007, o 19:40

W trapezie o podstawie długości 10cm i 6cm oraz wysokość4cm poprowadzono przekątne, które podzieliły go na cztery trójkąty. Znajdź pole każdego z otrzymanych trójkątów

Proszę o opisanie krok po kroku, najlepiej z obliczeniami
Z góry dziękuje
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Trapez i przekątne

Post autor: kuma » 29 sie 2007, o 00:25

Na początek liczymy pole trapezu
\(\displaystyle{ P=\frac{a+b}{2}*h}\)
a=6cm
b=10cm
h=4cm
\(\displaystyle{ P=32cm^{2}}\)



Pole trójkąta DCE wynosi x
Trójkąty DCE i ABE są do siebie podobne w skali \(\displaystyle{ \frac{6}{10}}\)
Trójkąty DCE i DEA mają taką samą wysokość a inne podstawy
\(\displaystyle{ \frac{|AE|}{|EC|}=\frac{10}{6}}\)
czyli pole trójkąta DEA jest równe \(\displaystyle{ \frac{10}{6}*x}\)
identycznie jest z polem trójkąta CBE (wynosi ono również \(\displaystyle{ \frac{10}{6}*x}\))
Podobnie porównuje trójkąty EBC i EBA
Czyli pole trójkąta EBA jest równe\(\displaystyle{ \frac{100}{36}*x}\)
\(\displaystyle{ \frac{100}{36}*x+\frac{10}{6}*x+\frac{10}{6}*x+x=32cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{256}{36}*x=32cm^{2}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{9}{2}cm^{2}}\)
Teraz łatwo policzyć pola pozostałych trójkątów

sklepikarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 wrz 2007, o 14:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 1 raz

Trapez i przekątne

Post autor: sklepikarz » 16 wrz 2007, o 15:07

Mam podobne zadanie. Robię to zadanie według tego jak zrobił to kuma i nawet mi wychodzi ale problem polega na tym że nie rozumiem paru rzeczy:
1. Czy w każdym trapezie trójkąty leżące naprzeciw siebie są podobne ( tak jak w zadaniu kąt DCE i AEB)
2. Czemu trójąty DCE i DEA mają mieć taką samą wysokość
3. Skąd otrzymujmy wynik żę DEA jest równe 10/6 * x

Będe wdzięczny za odpowiedź.

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Trapez i przekątne

Post autor: kuma » 16 wrz 2007, o 15:15

Ad.1
tak są podobne zawsze te trójkąty których podstawami są postawy trapezu

Ad.2
ponieważ mają spólną wysokości opószczoną na postawy odpowiednio AE i AC

Ad.3
Wynika to z podobieństwa trójkątów DCE i AEB

sklepikarz
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 5
Rejestracja: 16 wrz 2007, o 14:53
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Przemyśl
Podziękował: 1 raz

Trapez i przekątne

Post autor: sklepikarz » 16 wrz 2007, o 16:54

Wielkie dzięki. Teraz już wszystko rozumiem. Mam tylko pytanko a właściwię chce się upewnić czy podobieństwo trójkątów AEB oraz DEC moge udowodnić cachą podobieństwa kąt kąt:
kąt AEB przystający do DEC (kąty wierzchołkowe)
kąt ABE przsytający do CDE (kąty naprzeciwległe)

Dobrze?

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

Trapez i przekątne

Post autor: kuma » 17 wrz 2007, o 16:29

Tak, właśnie w taki sposób możesz to udowodnić

ODPOWIEDZ