Strona 1 z 1
zbieżność jednostajna
: 10 kwie 2016, o 13:43
autor: madlene
Jak zbadać zbieżność jednostajną ciągu \(\displaystyle{ f _{n}=n x\sin \frac{x}{n}}\) na zbiorach \(\displaystyle{ \RR,\RR _{+}}\) oraz na przedziałach postaci \(\displaystyle{ [0,a], a>0}\)
Funkcja graniczna wyszła \(\displaystyle{ f(x)=x^{2}}\)
zbieżność jednostajna
: 10 kwie 2016, o 14:54
autor: Premislav
Poprawnie wyliczyłaś funkcję graniczną. Definicja jednostajnej zbieżności ciągu funkcji \(\displaystyle{ (f_{n})_{n \in \NN}}\) w zbiorze \(\displaystyle{ D}\) do funkcji \(\displaystyle{ f}\) wygląda jakoś tak:
\(\displaystyle{ (\forall \varepsilon>0)(\exists n_{0} \in \NN)(\forall n> n_{0})(\forall x \in D)(\left| f(x)-f_{n}(x)\right|<\varepsilon)}\)
Zauważ, że \(\displaystyle{ \left| x^{2}-n x\sin \frac{x}{n}\right| =\left| x\right| \left| x-n\sin \frac{x}{n} \right|}\). Co będzie, jeśli \(\displaystyle{ x=n}\)?
Natomiast zbieżność jednostajna na przedziałach \(\displaystyle{ [0,a]}\) zachodzi. Spróbuj dobrać \(\displaystyle{ n_{0}}\) przy ustalonym \(\displaystyle{ a}\). Wskazówka: \(\displaystyle{ \sin t= \sum_{k=0}^{ \infty } \frac{(-1)^{k}t^{2k+1}}{(2k+1)!}}\) i gdy \(\displaystyle{ \left| t\right|}\) jest małe, to tylko jeden-dwa wyrazy się liczą. Tj. \(\displaystyle{ \sin t\approx t- \frac{t^{3}}{6}}\)