wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 28 sie 2007, o 19:15

\(\displaystyle{ F(x) = t_{0}^{ln x} \frac {\sqrt{3}e^{2t} - e^{t}}{e^{2t} + 1} dt}\)w przedziale \(\displaystyle{ (0;1\rangle.}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: luka52 » 31 sie 2007, o 23:56

Można względnie szybko zauważyć, że:
\(\displaystyle{ F'(x) = \frac{\sqrt{3} x - 1}{1+x^2}}\)
A stąd już tylko krok by stwierdzić, że najmniejszą wartość funkcja F osiąga w punkcie \(\displaystyle{ x = \frac{1}{\sqrt{3}}}\)

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 15:03

a możesz jakoś ro rozwinąć, bo nie mogę zauważyć jak to wyszło?
oglnie jaki jest tok postępowania w takich zadaniach? Najpierw całka, czy najpierw pochodna?

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: luka52 » 1 wrz 2007, o 15:33

Krótko mówiąc prawdziwy jest następujący wzór:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x} ft( t_0^{f(x)} g(t) \, \mbox{d}t \right) = g(f(x)) f'(x)}\)

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 16:23

nieźle
gdybym go znał, to bym zrobił połowę zadań których nie umiem dzieki


a jeszcze pytanko - jak juz mamy tą pochodną, przyrównujemy do zera i wychodzi wartość, to jest to wart. najmniejsza. A jakbym miał podać największą?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 16:50

Tamten wzorek wynika ze znanego wzoru:
\(\displaystyle{ \frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left( \int_{0}^{x}g(t)\, \mbox{d}t \right) = g(x)}\)
oraz z wzoru na pochodną funkcji złożonej.

[quote="Novy"]a jeszcze pytanko - jak juz mamy tą pochodną, przyrównujemy do zera i wychodzi wartość, to jest to wart. najmniejsza. A jakbym miał podać największą?[/quote]
To nie jest do końca tak jak piszesz.

Argumenty dla których pochodna funkcji się zeruje, to punkty stacjonarne, 'podejrzane' o to, że w tych punktach funkcja może (lecz nie musi) przyjmować ekstremum. Gdy chcemy sprawdzić czy w punkcie stacjonarnym jest ekstremum, musimy zbadać jak pochodna funkcji zachowuje się w bliskim otoczeniu tego punktu:
Jeżeli na lewo od takiego punktu pochodna jest dodatnia, a na prawo ujemna, to mamy w nim maksimum lokalne. Jeśli na lewo od tego punktu jest ujemna a na prawo dodatnia, to w tym punkcie jest minimum lokalne. W innym wypadku w badanym punkcie funkcja nie przyjmuje wartości ekstremalnej.
Aby wyznaczyć wartości największe i najmniejsze funkcji w przedziale domkniętym, należy jeszcze sprawdzić wartości w końcach tego przedziału i porównać z uzyskanymi w wyżej opisany sposób ekstremami lokalnymi.

A jeśli przedział, w którym określona jest rozpatrywana funkcja nie jest domknięty, to należy liczyć się z tym, że może ona nie przyjmować wartości największej lub najmniejszej.

Pozdrawiam

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 17:16

Mniej więcej kapuję, dzięki
no to może na przykładzie będzie najlepiej zrobić, prosiłbym o pomoc


jak mamy np:

\(\displaystyle{ F(x) = t_{0}^{arctg{x}} \frac{5(1-tg^{2}{t})}{tg{t}+2} dt}\) w przedziale \(\displaystyle{ }\) znaleźć największą wartość


obliczyłem ze wzorku pochodną F(x) i wyszło mi:
\(\displaystyle{ \frac{5(-x^{2}+1)}{(x+2)(x^{2}+1)}}\)

teraz przyrównując do zera, wyszedł mi jeden punkt należący do naszego przedziału, mianowicie x=1

i jak teraz sprawdzić jego otoczenie?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 17:35

Punkt ten nie leży wewnątrz przedziału, w którym określona jest nasza funkcja, zatem nie ma sobie czym zaprzątać głowy - ponieważ pochodna badanej funkcji przyjmuje w przedziale \(\displaystyle{ (0, 1)}\) wartości dodatnie, to funkcja \(\displaystyle{ F}\) jest rosnąca w przedziale \(\displaystyle{ (0, 1)}\), a ponieważ jest ciągła to również i w przedziale \(\displaystyle{ [0, 1]}\), czyli wartość największą przyjmie w punkcie \(\displaystyle{ 1}\).

Jeszcze wypadałoby dopowiedzieć, że podany wyżej wzór działa jeśli \(\displaystyle{ g}\) jest ciągła a \(\displaystyle{ f}\) różniczkowalna.

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 1 wrz 2007, o 18:25

max pisze:Punkt ten nie leży wewnątrz przedziału, w którym określona jest nasza funkcja,

no raczej jedynka się zawiera w

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: max » 1 wrz 2007, o 18:37

Pisząc 'wnętrze' miałem na myśli zbiór punktów należących do przedziału wraz z pewnym swoim otoczeniem, czyli o przedział \(\displaystyle{ (0, 1)}\).

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 2 wrz 2007, o 13:18

a taki przykładzik?


\(\displaystyle{ F(x)=\int_{1}^{x}\,f(t)\,dt\,\,\,\,\,, \,\,f(t)=\begin{cases} t-1\,\, , t\leqslant{1}\\e^{-t^{2}}\,\,\,, t>1\end{cases}}\)

zbadać ekstrema tego czegoś

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 13:38

Skorzystaj z tego, że zmiana wartości funkcji całkowalnej na przedziale w skończonym podzbiorze tego przedziału nie zmienia wartości całki z tej funkcji w tym przedziale, zatem:
\(\displaystyle{ F(x) = \begin{cases}\int_{1}^{x}(t - 1)\, dt\ , \ x \leqslant 1\\
\int_{1}^{x}e^{-t^{2}}\, dt\ , \ x > 1 \end{cases}}\)

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 2 wrz 2007, o 13:45

aha, no dobra, czyli teraz policzyć pochodne oddzielnie dla dwóch przypadków i wyjdą jakieś punkty stacjonarne.


edit: tak zrobiłem, w 1 przypadku wyszło mi \(\displaystyle{ x=1}\), które należy do przedziału, a w drugim \(\displaystyle{ x=1 \,\,\,\,v \,\,\,\, x=(-1)}\) które nie należą do przedziału.. i nie bardzo wiem co teraz

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: max » 2 wrz 2007, o 14:14

\(\displaystyle{ F'(x) = \begin{cases}x - 1, \ x \leqslant 1\\e^{-x^{2}},\ x > 1 \end{cases}}\)
Stąd:
\(\displaystyle{ F'(x) = 0 \iff x = 1}\)
oraz dla \(\displaystyle{ x < 1}\) jest \(\displaystyle{ F'(x) = x - 1 < 0}\) i dla \(\displaystyle{ x > 1}\) jest \(\displaystyle{ F'(x) = e^{-x^{2}} > 0}\). Stąd funkcja \(\displaystyle{ F}\) w pewnym lewostronnym otoczeniu (a w tym wypadku nawet w dowolnym lewostronnym otoczeniu) punktu \(\displaystyle{ 1}\) jest malejąca, i w pewnym (a tutaj również w dowolnym) prawostronnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ 1}\) jest rosnąca, więc w punkcie \(\displaystyle{ 1}\) przyjmuje wartość najmniejszą równą \(\displaystyle{ 0}\).

Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

wyznaczyć najmniejszą wartość funkcji

Post autor: Novy » 2 wrz 2007, o 15:25

\(\displaystyle{ F(x) = t_{0}^{arctg{x}} \frac{5(1-tg^{2}{t})}{tg{t}+2} dt}\) w przedziale znaleźć największą wartość
wracam jeszcze do tego zadania.. czy ktoś mogłby rzucic okiem do końca? wyszło mi że max jest w x=1 i jest to wartosc 0. Dobrze?

ODPOWIEDZ