kryterium całkowe zbieżności szeregu

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
chemik1520
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2016, o 16:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

kryterium całkowe zbieżności szeregu

Post autor: chemik1520 » 9 kwie 2016, o 16:47

\(\sum_{2}^{ \infty } \frac{ln n}{n^2}\)
\(\sum_{1}^{ \infty } \frac{1}{n \sqrt{n+1} }\)

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium całkowe zbieżności szeregu

Post autor: Premislav » 9 kwie 2016, o 16:52

Wystarczy, że pokażesz, iż
(pierwszy przykład) \(\int_{2}^{ \infty } \frac{\ln x}{x^{2}}dx\) jest zbieżna

oraz (drugi przykład) \(\int_{1}^{ \infty } \frac{dx}{x \sqrt{x+1} }dx\) jest zbieżna.

Obie całki są bardzo łatwe, więc proponuję się nie bawić z szacowaniami, tylko po prostu policzyć nieoznaczone i wstawić granice całkowania. Pierwszą liczysz przez części, różniczkując logarytm, zaś całkując \(\frac{1}{x^{2}}\), a drugiej możesz np. podstawić \(\sqrt{x+1}=t\). A jak chcesz jednak szacować, to w drugim np. \(\frac{1}{x \sqrt{x+1} } <x^{-\frac 3 2}\)

chemik1520
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2016, o 16:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

kryterium całkowe zbieżności szeregu

Post autor: chemik1520 » 9 kwie 2016, o 17:40

W temacie jest, że mają być z całkowego, ale jak je rozwiązać? Nie mam żadnego pomysłu, chyba już mnie dopadło zaćmienie :<

Awatar użytkownika
Premislav
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 14140
Rejestracja: 17 sie 2012, o 13:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław

kryterium całkowe zbieżności szeregu

Post autor: Premislav » 9 kwie 2016, o 17:58

Ojej no, napisałem, że pierwszą przez części, a drugą przez podstawienie, nie czytasz.

1) \(\int_{2}^{+\infty} \frac{\ln x}{x^{2}}dx=\bigg| u=\ln x, dv= \frac{1}{x^{2}}, v=- \frac{1}{x}\bigg|=- \frac{\ln x}{x}\bigg|^{\infty}_{2}+ \int_{2}^{ +\infty } \frac{dx}{x^{2}}=...\)

2) \(\int_{1}^{ +\infty } \frac{dx}{x \sqrt{x+1} }dx=\bigg|t=\sqrt{x+1}, x=t^{2}-1, \mbox{d}x=2t \mbox{d}t\bigg|=2 \int_{\sqrt{2}}^{+\infty} \frac{dt}{t^{2}-1}\) i rozkład na ułamki proste, a potem korzystasz z \(\ln a -\ln b=\ln \frac{a}{b}\)

chemik1520
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 18
Rejestracja: 13 mar 2016, o 16:44
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Wrocław

kryterium całkowe zbieżności szeregu

Post autor: chemik1520 » 9 kwie 2016, o 18:03

Damn it, faktycznie, przepraszam. Dzięki wielkie!

ODPOWIEDZ