Matematyka.pl

Witam, niech \(\displaystyle{ T_k}\) będzie \(\displaystyle{ k}\)-tym wielomianem Czebyszewa pierwszego rodzaju. Czy prawdą jest, że ilość rozwiązań równania \(\displaystyle{ \underbrace{T_k(T_k(...(T_k(x))...)}_{n}=x}\) wynosi \(\displaystyle{ n^2 \cdot k}\), dla \(\displaystyle{ k>1}\)

Mamy \(\displaystyle{ T_k \circ T_k (x) =\cos (k \arccos (\cos (k\arccos (x))))=\cos (k^2 \arccos (x)) =T_{k^2} (x)}\) i podobnie \(\displaystyle{ T_k (T_k (...(T_k (x) )...)) =T_{k^n } (x)}\)
zatem wystarczy znać ilość pierwiastków równania \(\displaystyle{ T_l (x) =x}\) dla \(\displaystyle{ l\in\mathbb{N} .}\)