Matematyka.pl

Wyznacz wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ m}\), dla których \(\displaystyle{ x^{3} -6x^{2}+1=m}\) ma co najmniej dwa rozwiązania.
Wiem że należy policzyć pochodną i znaleźć extrema i wyznaczyć zbiór wartości funkcji i okazuje się że to jest już koniec ale niestety nie wiem dlaczego tak może mi to ktoś wytłumaczyć ?

Ty powinieneś naszkicować wykres funkcji (lewa strona równania), do tego (na początek) potrzebne to o czym piszesz.

Podaj co dostaniesz.

Z programu do rysowania funkcji wynika że wykres ma 3 miejsca zerowe ale sam nie umiał bym ustalić ile ma pierwiastków ale dalej nie widzę związku z liczeniem zbioru wartości funkcji z pochodnej

Zbioru wartości nie musisz liczyć - wielomian nieparzystego stopnia ma ten zbiór określony.

Masz (treść zadania) zobaczyć jakie \(\displaystyle{ y=m}\) (czyli poziome proste) trafią wykres dwa lub więcej razy.

Jeśli nie wiesz jak ten wykres wygląda to będziesz miał kłopot jak to zobaczyć.

Rozumiem w jaki sposób chcesz to rozwiązać ale na poziomie liceum nie da się tego narysować, wg klucza to zadanie trzeba zrobić używając pochodnej więc chciałbym aby ktoś ten sposób mi wytłumaczył.

Jak się nie da ? Da się właśnie na poziomie liceum.

Pochodną liczysz po to aby wyznaczyć ekstrema.

\(\displaystyle{ f'(x)=3x^2-12x}\)

Po przyrównaniu do zera masz dwa miejsca podejrzane (tu pewniaki) jako ekstrema.

Możesz to potwierdzić badając znak pochodnej.

Wyznaczasz ekstrema - czyli wartości w nich.

Szkic wykresu (miejsca zerowe - tu- nieistotne) - przyjmujemy, że znamy zachowanie funkcji \(\displaystyle{ y=x^3}\).

,,III ćwiartka od minus nieskończoności (rosnąca) do wyznaczonego max, potem malejąca do minimum, następnie rosnąca do plus nieskończoności I ćw."

Oni w kluczu chcą abyś wiedział, że między ekstremami pozioma trafi wykres ... razy, a idące przez ekstrema trafią ...razy.

Niestety dalej nie rozumiem ;(
Co mi da to że będe miał extrema ?

Wyznacz miejsca (x-sy) podejrzane o ekstremum i podaj co masz.

\(\displaystyle{ x=0}\) i \(\displaystyle{ x=4}\)
Z tego wynika że funkcja rośnie od \(\displaystyle{ \left\langle 0;4\right\rangle}\) i maleje \(\displaystyle{ (- \infty ;0> \cup <4;+ \infty )}\)
Dodatkowo dla\(\displaystyle{ x=0}\) osiąga maximum lokalne równe\(\displaystyle{ 1}\), a dla \(\displaystyle{ x=4}\)minimum lokalne równe \(\displaystyle{ -31}\)

Po czasie ale - monotoniczność na odwrót.

Tak zgadza sie mój błąd a co z tego wynika?

To, że możesz narysować szkic wykresu - patrz mój nieprecyzyjny opis z poprzedniego posta.