różniczka

Różniczkowalność, pochodna funkcji. Przebieg zmienności. Zadania optymalizacyjne. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku różniczkowego.
siNister
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 108
Rejestracja: 16 kwie 2006, o 17:15
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Katowice/Gliwice
Podziękował: 16 razy
Pomógł: 16 razy

różniczka

Post autor: siNister » 28 sie 2007, o 17:04

\(\displaystyle{ (x+y)dx=xdy}\)
wiem o jaka metode chodzi, mianowicie z wykorzystaniem podstawienia \(\displaystyle{ u=\frac{y}{x}}\), niestety zapomnialem o co w tym dokladnie chodzilo, wielkie dzieki za pomoc
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

luka52
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 8602
Rejestracja: 1 maja 2006, o 20:54
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Kraków
Podziękował: 47 razy
Pomógł: 1817 razy

różniczka

Post autor: luka52 » 28 sie 2007, o 17:10

Dlaczego temat nazywa się "różniczka"

Co do równania, to:
dzielimy obustronnie przez x (przy zał. x≠0, oczywiście) i otrzymujemy coś takiego:
\(\displaystyle{ 1 + \frac{y}{x} = \frac{dy}{dx}}\)
Podstawiamy \(\displaystyle{ u = \frac{y}{x} y = ux, \quad y' = u'x + u}\)
Podstawiając do równania mamy:
\(\displaystyle{ 1 + u = u + u'x\\
u' = \frac{1}{x}\\
u = \ln |x| + C\\
\frac{y}{x} = \ln |x| + C\\
y = x (\ln |x| + C)}\)

Lub też w postaci: \(\displaystyle{ \frac{y}{x \ln |x|} = C}\)
(x≠0 i x≠�1)

ODPOWIEDZ