Co zrobić z podwójnym rónaniem

Ze względu na specyfikę metody - osobny dział.
Martiii
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 15
Rejestracja: 28 sie 2007, o 15:05
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Kłodzko

Co zrobić z podwójnym rónaniem

Post autor: Martiii » 28 sie 2007, o 16:29

Stosując zasadę indukcji mat. wykazać, że dla dowolnej liczby naturalnej n:
1� + 2� + 3� ... n� = (1+2+3...+n)� = (�n(n+1))�
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Sylwek
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2711
Rejestracja: 21 maja 2007, o 14:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 654 razy

Co zrobić z podwójnym rónaniem

Post autor: Sylwek » 28 sie 2007, o 16:50

Udowadniasz, że jedno z równań jest równoważne innemu, a następnie, że równanie nie rozpatrywane do tej pory jest równoważne któremuś z równoważnych równań. W tym przypadku najprościej przyrównać część drugą i trzecią [ (1+2+3...+n)� = (�n(n+1))� ], a potem pierwszą i trzecią [ 1� + 2� + 3� ... n� = (�n(n+1))� ]. W pierwszym przypadku dowodzenie jest banalne (suma ciągu arytmetycznego). W drugim raczej też, ale jakby coś było niejasne to napiszę (sam dowód):

\(\displaystyle{ L_{T}=1^3+2^3+...+n^3+(n+1)^3=(\frac{n(n+1)}{2})^2+(n+1)^3= \\ =\frac{n^2(n+1)^2+4(n+1)^3}{4}=\frac{(n+1)^2(n^2+4n+4)}{4}= \\ =\frac{(n+1)^2(n+2)^2}{4}=(\frac{(n+1)(n+2)}{2})^2=P_{T}}\)

ODPOWIEDZ