rozwinąć w Maclaurina

Istnienie i ciągłość funkcji granicznej, jednostajna zbieżność. Zmiana kolejności przejścia granicznego. Różniczkowanie i całkowanie szeregów. Istnienie i zbieżność rozwinięć Taylora, Maclaurina, Fouriera itd.
Novy
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 126
Rejestracja: 20 sie 2007, o 21:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy

rozwinąć w Maclaurina

Post autor: Novy » 28 sie 2007, o 16:21

\(\displaystyle{ f(x) = \ln (x^{2}+1)}\)

rozwinac w maclaurina i wyznaczyc, jesli istanieje, najmniejsze x, dla ktorego to rozwiniecie jest prawdziwe.

Pomiędzy znaczniki LaTeX-a należy umieszczać całe wyrażenie!
luka52
Ostatnio zmieniony 28 sie 2007, o 16:55 przez Novy, łącznie zmieniany 1 raz.
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

rozwinąć w Maclaurina

Post autor: max » 28 sie 2007, o 18:40

\(\displaystyle{ f'(x) = \frac{2x}{x^{2} + 1} = 2x\sum_{n = 0}^{\infty}(-x^{2})^{n} = \sum_{n = 0}^{\infty}2(-1)^{n}x^{2n + 1}}\)
\(\displaystyle{ f(t) = \int\limits_{0}^{t}f'(x)\, \mbox{d}x}\)
i z twierdzenia o całkowaniu szeregu potęgowego wyraz za wyrazem mamy:
\(\displaystyle{ f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n + 1}x^{2(n + 1)}}\)
Aby rozwiązać dalszą część zadania można wyznaczyć promień zbieżności szeregu (np kryterium d'Alemberta) i sprawdzić, czy szereg jest zbieżny w lewym końcu przedziału zbieżności (np kryterium Leibniza).

ODPOWIEDZ