Matematyka.pl

Oblicz największą wartość sumy Sn=(20-n)n

Wystarczy znaleźć maximum funkcji \(\displaystyle{ f(n)=-n^2+20n}\)

Można to zrobić np. za pomocą pochodnej ...
Liczymy pochodną f(x), a następnie sprawdzamy kiedy pochodna jest dodatnia i kiedy ujemna ... czyli kiedy funkcja rośnie, a kiedy maleje ... w miejscu gdzie funkcja z rosnącej przechodzi w malejąca mamy maximum funkcji f(x)...

mozna tez to rozwiazac nie wiedzac co to jest pochodna mianowicie wystarczy policzyc wspolrzedne wierzcholka paraboli i tam bedzie maxiumum gdyz a

czy zdajecie sobie sprawe, że nie mozna obl max sumy ciagu z pochodnych . przeciez ciagi nie sa różniczkowalne . Drugi sposób tez ma wade, bo przeciez wykresem nie bedzie parabola. najbardziej poprawnym a zarazem najprostrzym sposobem jest wyznaczenie miejsc zerowych a nastepnie pkt lezacego dokladnie pomiedzy nimi i w tym punkcie jest max.

by AM-GM \(\displaystyle{ n(20-n)\leq({n+(20-n) \over 2})^2=100}\)

Zlodiej pisze:Wystarczy znaleźć maximum funkcji \(\displaystyle{ f(n)=-n^2+20n}\)

no właśnie mam ostatni pochodną na lekcjach i tutaj mi się wydaje, że nie wystarczy, bo przecież maximum wcale nie musi być największą wartością funkcji!

np. funkcja
\(\displaystyle{ y=-x^3+x}\)
ma maximum w punkcie
\(\displaystyle{ x=\frac{sqrt{3}}{3}}\)
i jej wartość tam wynosi w przybliżeniu 0,38 a to wcale nie jest jej największa wartość, bo
\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty}-x^3+x=\infty}\)
(to jest przykład który miałem na pracę domową)

chyba moje rozumowanie nie jest błędne....

Ale my tutaj mówimy o funkcji kwadratowej! A dla niej właśnie tak jest.
Jeśli chodzi o inne funkcje, to musi byc zmiana znaku w otoczeniu miejsca zerowego pochodnej żeby istniało ekstremum. A jeszcze inna sprawa, to trzeba rozróżniać pojęcie ekstemum lokalnego i globalnego.

Funkcja określona na dziedzinie liczb rzeczywistych, której wzór dany jest wielomianem stopnia nieparzystego, nie ma wartości maksymalnej ani minimalnej, z tego, co mi jest wiadome.

po pierwsze nie jest to funkcja kwadratowa. przeciez n nalezy do naturalnych !!, a w funkcji kwadratowej x nalezy do R. Wpradzie metoda z pochodna daje dobry wynik ale jest to błedne rozwizanie !!

yolek pisze:po pierwsze nie jest to funkcja kwadratowa. przeciez n nalezy do naturalnych !!, a w funkcji kwadratowej x nalezy do R. Wpradzie metoda z pochodna daje dobry wynik ale jest to błedne rozwizanie !!

po 1 nie krzycz
po 2
masz funkcje kwadratowa przyjmujesz ze dziedzina jest R liczysz wspolrzedna xowa wierzcholka wychodzi 10 wracasz do poczatku sprawdzajac czy 10 nalezy do N, odpowiezd jest twierdzaca wiec nie wiem gdzie widzisz problem ??

imho rozwiazanie nie jest bledne

nie krzycze . po porstu przestrzegam przed uzywaniem pochodnej w takich przykładach bo na egzaminach jest to postrzegane jako bład a w najlepszym przypadku wywoła atak śmiechu u egzaminatora ;]

@olazola, no fakt, dla funkcji kwadratowej to się zgadza, ale jeśli jest to funkcja wielomianowa wyższego stopnia to nie, a tak uczą nas w szkole i tak jest w zbiorach i książkach..... paranoja....
bo to zadanko które podałem wcześniej, to właśnie odpowiedź w zbiorze jest taka, że dla \(\displaystyle{ x=\frac{\sqrt{3}}{3}}\) funkcja przyjmuje wartość największą

Widzę, że odeszliśmy od głównego tematu i to stąd te nieporozumienia .
Bardziej chodziło mi o sprostowanie tego co powiedział droopy, niż odwołanie się do treści zadania, bo przecież On za kontrprzykład dał funkcję.
Myślę, że nie ma sie o co sprzeczać.
Droopy, jeszcze raz powtarzam, abyś sobie uświadomił, że jest coś takiego jak ekstremum lokalne.

dobra, wiem, ale chodzi mi o to, że głupot mnie w tej szkole uczą, bo pytanie było dla jakiego x ta funkcja przyjmuje wartość nejwiększą, a takiego x nie ma, nie było pytanie o maximum funkcji, wiem co to jest extremum lokalne, ale przecież nie o nie w zadaniu chodzi , a w opdowiedziach jest właśnie ono podane....

ps. przepraszam że tak odbiegam od głównego tematu