Matematyka.pl

Witam wszystkich, proszę o pomoc w rozwiązaniu poniższego zadania:

Mamy 12 kul. 1 zieloną, 1 niebieską, 1 czerwoną, 1 żółtą, 1 białą i 7 czarnych. Na ile sposobów można umieścić te kule w 4 urnach, tak żeby w każdej urnie była co najmniej jedna kula?

Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń, ale nic więcej nie przychodzi mi do głowy, więc będę wdzięczna za wskazówki

Zakładam, że urny są rozróżnialne, oraz, że czarne kule między sobą są nierozróżnialne, kule pojedyncze nazwijmy kulami kolorowymi.

najpierw musisz zapełnić wszystkie urny przynajmniej jedną kulą a możesz to zrobić tak:

k - kolorowa, cz - czarna

1. \(\displaystyle{ \left\{ 0k, 4cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 5k, 3cz}\)

2. \(\displaystyle{ \left\{ 1k, 3cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 4k, 4cz}\)

3. \(\displaystyle{ \left\{ 2k, 2cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 3k, 5cz}\)

4. \(\displaystyle{ \left\{ 3k, 1cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 2k, 6cz}\)

5. \(\displaystyle{ \left\{ 4k, 0cz\right\}}\) , zostaje - \(\displaystyle{ 1k, 7cz}\)

I teraz to czym musisz zapełniać czyli to z lewej musisz umieszczać suriektywnie a to co z prawej umieszczasz na chybił trafił.

To tak z grubsza , bo masz tu pomieszane kule rozróżnialne i nierozróżnialne.

Przypadek pierwszy:

masz zero kolorowych i umieszczasz wszystkie czarne w czterech urnach co daje jeden sposób,
zostaje pięć kolorowych i trzy czarne

Musisz zastosować tu wariacje z powtórzeniami i kombinacje z powtórzeniami:

\(\displaystyle{ 4^5 \cdot {3+4-1 \choose 3}}\)

Podobnie drugi przypadek:

wybierasz spośród kolorowych jedną i umieszczasz suriektywnie w urnach czterech:
Potem wybierasz te urny w których umieszczasz kolorową a do pozostałych czarne (tu nie ma rozróżnień)

\(\displaystyle{ {5 \choose 1} \cdot {4 \choose 1} \cdot 4^4 \cdot {4+4-1 \choose 4}}\)

ad.3:

\(\displaystyle{ {5 \choose 2} \cdot {4 \choose 2} \cdot 2! \cdot 4^3 \cdot {5+4-1 \choose 5}}\)

Mnożę jeszcze przez dwa silnia bo te kolorowe jeszcze w dwóch wybranych urnach mogę permutować

ad.4:

\(\displaystyle{ {5 \choose 3} \cdot {4 \choose 3} \cdot 3! \cdot 4^2 \cdot {6+4-1 \choose 6}}\)

ad.5:

\(\displaystyle{ {5 \choose 4} \cdot {4 \choose 4} \cdot 4! \cdot 4^1 \cdot {7+4-1 \choose 7}}\)

Teraz te przypadki trzeba zsumować...

dzięki za odpowiedź! Jednak nie jestem przekonana co do jej poprawności, wydaje mi się, że dużo sytuacji jest liczonych podwójnie, albo nawet większą ilość razy. Np sytuacja w której w pierwszych trzech urnach mamy 1 kulę kolorową i jedną czarną, a w czwartej urnie resztę, jest uwzględniona w każdym z powyższych przypadków. Czy tak nie jest?

Masz racje mogą się powtarzać dobrze żeś zauważyła.
Ale mam inny pomysł mam nadzieję, że lepszy:

Najpierw umieśćmy kule czarne w jednej urnie:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1}}\) sposobów, a kule kolorowe na dwa sposoby:

najpierw w urnach pustych, czyli suriekcje \(\displaystyle{ S(5,3)}\), a potem we wszystkich urnach, czyli:

\(\displaystyle{ S(5,4)}\)

co razem da możliwości:

\(\displaystyle{ {4 \choose 1} \cdot S(5,3)+{4 \choose 1} \cdot S(5,4)}\)

Drugi przypadek wsadzamy kule czarne do dwóch urn i dbamy, żeby żadna urna nie była pusta:

A potem wrzucamy kule kolorowe w pierwszym przypadku do pustych urn potem do pustych i do jednej w której są czarne kule i to na dwa sposoby a potem suriekcje na wszystkie urny idą.

\(\displaystyle{ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} \cdot S(5,2)+ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} 2 \cdot S(5,3)+ {4 \choose 2} \cdot {7-1 \choose 2-1} \cdot S(5,4)}\)

Trzeci przypadek wrzucamy czarne kule do trzech urn na sposobów:

i mamy suriekcje na jedną, dwie, trzy i cztery urny kul kolorowych

Wybieramy np. w trzeciej sumie dwie urny w których są czarne kule i urnę pustą i w te urny dajemy kule kolorowe, a ponieważ kule czarna są w trzech urnach więc dwie urny do , których ładujemy kule kolorowe wybieramy na: \(\displaystyle{ {3 \choose 2}}\) sposobów, itd...

\(\displaystyle{ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,1)+ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot 3 \cdot S(5,2)+ {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot {3 \choose 2} \cdot S(5,3) + {4 \choose 3} \cdot {7-1 \choose 3-1} \cdot S(5,4)}\)

Czwarty przypadek wsadzamy czarne kule do wszystkich urn a kolorowe kule wsadzamy za pomocą wariacji z powtórzeniami do wszystkich urn:

\(\displaystyle{ {7-1 \choose 4-1} \cdot 4^5}\)

a teraz sumujemy przypadki i teraz na pewno sytuacje się nie powtórzą bo czarne wsadzam osobno a kolorowe upycham suriekcjami...

Generalnie taką zasadę tu mam:

Najpierw umieszczam czarne kule: w jednej, dwóch, trzech i czterech urnach (Liczę sposoby kombinacje z powtórzeniem bez pustych miejsc).

A potem kule kolorowe wrzucam suriektywnie w puste urny, oraz w te urny w których już leżą czarne kule (jednej, drugiej, trzeciej,...). Ostatni przypadek gdzie wszystkie urny są zajęte przez czarne używam wariacji z powtórzeniami dla kul kolorowych bo tu już mogę sobie na to pozwolić.

Cała trudność tego zadania polegała na tym, że mieliśmy połączone kule rozróżnialne, nierozróżnialne a do tego były suriekcje czyli "na"...

Dzięki za wskazanie błędu widać, że ktoś myśli...

onmyway pisze:Nie mam pojęcia jak poprawnie rozwiązać to zadanie, domyślam się, że trzeba skorzystać z zasady włączeń i wyłączeń,

Chyba tak będzie najprościej, więc do dzieła. Ile jest wszystkich możliwości rozmieszczenia kul? Ile jest takich rozmieszczeń, że pierwsza urna jest pusta? Itd.