granica do policzenia

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica do policzenia

Post autor: setch » 28 sie 2007, o 14:27

Policz granice wykorzystując regułe de L'Hospitala \(\displaystyle{ \lim_{x \to +\infty} m(\sqrt[m]{x}-1)}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica do policzenia

Post autor: max » 28 sie 2007, o 21:36

Wyrażenie pod granicą na pewno tak wygląda?
A może \(\displaystyle{ m\to +\infty}\)? (chociaż wtedy z Hospitala nie można skorzystać)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica do policzenia

Post autor: setch » 28 sie 2007, o 21:56

Przepisałem dobrze, to x dąży do nieskonczoności. Zadanie jest w Krysickiego i Włodarskiego (numer 12.22)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica do policzenia

Post autor: max » 28 sie 2007, o 22:32

Pewnie błąd w druku, zobacz jaka jest odpowiedź i zastanów się jak powinien wyglądać przykład aby była ona poprawna...

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica do policzenia

Post autor: setch » 28 sie 2007, o 22:42

Sama odpowiedź jest nie lepsza a mianowicie \(\displaystyle{ \ln x}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica do policzenia

Post autor: max » 29 sie 2007, o 11:21

Tyle wynosi granica:
\(\displaystyle{ \lim_{m\to \infty} m(\sqrt[m]{x} - 1) = \lim_{m\to \infty}\frac{x^{\frac{1}{m}} - 1}{\frac{1}{m}} \stackrel{t = \frac{1}{m}}{=} \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t}}\)
dla \(\displaystyle{ x\in (0, 1)\cup (1, +\infty)}\)
przy czym nie możemy tu skorzystać z reguły de l'Hospitala, bo aby wyznaczyć pochodną funkcji wykładniczej musielibyśmy znać wartość ostatniej granicy. Można ją natomiast obliczyć w następujący sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} \stackrel{t = \log_{x}(u + 1)}{=} \lim_{u \to 0} \frac{u + 1 - 1}{\log_{x} (1 + u)} =\\
= \lim_{u\to 0}\frac{1}{\log_{x}(1 + u)^{1/u}} = \frac{1}{\log_{x}e} = \ln x}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

granica do policzenia

Post autor: setch » 29 sie 2007, o 11:33

Przecież \(\displaystyle{ \lim_{t \to 0} \frac{x^t-1}{t} \stackrel{H}{=}\lim_{t \to 0}x^t \ln x=\ln x}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

granica do policzenia

Post autor: max » 29 sie 2007, o 11:40

Zgadza się, ale wyprowadzenie wzoru:
\(\displaystyle{ (x^{t})'_{t} = x^{t}\ln x}\)
opiera się na tym, że:
\(\displaystyle{ \lim_{t\to 0}\frac{x^{t} - 1}{t} = \ln x}\)
i kółeczko się zamyka...

ODPOWIEDZ