Matematyka.pl

Dziewięciu podróżnych wsiada losowo do trzech wagonów. Wyznaczyć prawdopodobieństwo, tego że:
\(\displaystyle{ 1)}\) do każdego wagonu wsiądzie trzech podróżnych
\(\displaystyle{ 2)}\) żaden wagon nie będzie pusty.

Rozwiązuję to zadanie w ten sposób:
określam przestrzeń zdarzeń elementarnych: \(\displaystyle{ \Omega = \left\{ \left( a_1,a_2, \ldots , a_9\right): a_i \in \left\{ 1,2,3\right\}\right\}}\)
\(\displaystyle{ \left| \Omega\right|=3^9}\)
\(\displaystyle{ 1)}\) niech zdarzenie \(\displaystyle{ A}\)- do każdego wagonu wsiądzie trzech podróżnych
\(\displaystyle{ \left| A\right| = {9 \choose 3} {6 \choose 3} {3 \choose 3} \cdot 3!}\)
czyli wybieram trzech podróżnych do jednego wagonu, trzech do innego i trzech do ostatniego, potem permutuje wagony
\(\displaystyle{ 2)}\)Niech \(\displaystyle{ B}\)- żaden wagon nie będzie pusty
\(\displaystyle{ \left| B\right| = {9 \choose 1} {8 \choose 1} {7 \choose 1} \cdot 3! \cdot 3^6}\)
czyli wybieram po jednym do każdego z trzech wagonów, permutuję wagony i resztę ludzi rozsadzam jakkolwiek.

Zawsze mam problem z tym czy mój tok myślenia jest na pewno dobry, czy aby tylko o czymś nie zapomniałam. Proszę o sprawdzenie zadania, ewentualnie jakieś wskazówki

1) wydaje się dobrze zrobione.
W 2) niestety jest błąd. Problem jest następujący:
Oznaczmy wagony przez a,b,c i ludzi przez 1,...,9. Rozważmy konkretną sytuację.
Wybrałaś osoby 1,2,3 do wagonów a,b,c, a następnie przypadkiem wszystkie pozostałe osoby trafiły do tego samego wagonu, powiedzmy c. W innej sytuacji wybrałaś osoby 4,2,3, a następnie pozostałe trafiły do tego samego wagonu. W efekcie i w jednej, i w drugiej sytuacji w wagonie a jest pasażer 1, w wagonie b jest 2, a w c są pozostali. Z punktu widzenia zadania te sytuacje są identyczne, a według wzoru zostały policzone osobno.
Jak widać ten problem nie występuje w 1), bo po rozłożeniu osób "koniecznych" w poszczególnych wagonach, nie zostaje już nikt, kto mógłby być gdziekolwiek.
Ja do 2) proponuję wzór włączeń i wyłączeń. Czyli od mocy \(\displaystyle{ \Omega}\) odejmijmy te przypadki, kiedy któryś wagon jest pusty. Ile trzeba odjąć? To trzeba policzyć z tego wzoru.

ok, może nie do końca rozumiem Twój przykład ale widzę ten błąd


moc \(\displaystyle{ B=}\) moc omegi \(\displaystyle{ -}\) dwa wagony puste (wszyscy idą do jednego wagonu) takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 3}\) \(\displaystyle{ -}\) jeden wagon pusty (upychamy wszystkich do dwóch wagonów \(\displaystyle{ 2^9 - 2}\) )

Mam problem z analogicznym zadaniem.
I zastanawiam się czy to nie powinno iść w ten sposób:
Niech \(\displaystyle{ B_i}\)- zdarzenie, takie że i-ty wagon pusty.
\(\displaystyle{ \left| B_1 \cup B_2 \cup B_3\right|=\left| B_1\right| + \left| B_2\right| + \left| B_3\right| - \left| B_1 \cap B_2 \right|- \left| B_1 \cap B_3\right|-\left| B_2 \cap B_3\right| +\left| B_1 \cap B_2 \cap B_3\right|= 2^9 \cdot 3 - 1 \cdot 3 +0}\)

Nie wiem Może niech się ktoś bardziej doświadczony wypowie

Twoje rozwiązanie to czysta zasada włączania wyłączania - jest poprawne.

Hubbaser, które rozwiązanie jest poprawne? Moje czy princess691 ?
Bo się troszkę już pogubiłam

Princess ma dobrze

Polecam przeczytać o włączaniu wyłączeniu. Jest to metoda, którą stosuje się, gdy musi wystąpić dokładnie k własności (tutaj k=0)

alla2012 pisze:moc \(\displaystyle{ B=}\) moc omegi \(\displaystyle{ -}\) dwa wagony puste (wszyscy idą do jednego wagonu) takich sytuacji jest \(\displaystyle{ 3}\) \(\displaystyle{ -}\) jeden wagon pusty (upychamy wszystkich do dwóch wagonów \(\displaystyle{ 2^9 - 2}\) )

dwa wagony puste - \(\displaystyle{ 3}\) możliwości
jeden wagon pusty - \(\displaystyle{ 3\cdot(2^9-2)}\)
stąd - co najmniej jeden wagon pusty - \(\displaystyle{ 3\cdot(2^9-2)+3=3\cdot2^9-3}\)
\(\displaystyle{ |B|=3^9-3\cdot2^9+3=18150}\)
\(\displaystyle{ P(B)=\frac{18150}{3^9} \approx 92,2\%}\)