zbiór środków odcinka

[robin5hood]

zad
Z wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ y^2=2px}\) poprowadzono dwie wzajemne prostopadłe cięciwy przecinajace parabolę w punktach A i B. Znaleźć zbiór wszystkich środków odcinków AB.

[Plant]

Pozwolisz, że dla własnej orientacji zamienię tę parabolę na \(\displaystyle{ x^2=2py y=\frac{x^2}{2p},\ p\neq 0}\)
Oznaczę te dwie proste prostopadłe przez k,l.
\(\displaystyle{ k: y=ax}\), \(\displaystyle{ l: y=-\frac{1}{a}}\), posiadają tylko współczynnik kierunkowy, ponieważ przechodzą przez wierzchołek paraboli, którym jest (0;0).

Znajduję punkty wspólne poszczególnych prostych i paraboli. Z prostą k:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2p}=ax \\ \frac{x(x-2ap)}{2p}=0 \\ x=0 x=2ap}\)
(x=0 - wierzchołek)

Dla \(\displaystyle{ x=2ap,\ y=\frac{x^2}{2p}=2a^2p}\)

i z prostą l:
\(\displaystyle{ \frac{x^2}{2p}=-\frac{1}{a}x \\ \frac{x(x+\frac{2p}{a})}{2p}=0 \\ x=0 x=-\frac{2p}{a}}\)

Również interesuje nas drugi przypadek.

Z kolei dla \(\displaystyle{ x=-\frac{2p}{a},\ y=\frac{2p}{a^2}}\)

Mamy zatem punkty \(\displaystyle{ A=(2ap;2a^2p)}\) i \(\displaystyle{ B=(-\frac{2p}{a};\frac{2p}{a^2})}\)

Niech S=(Sx;Sy) - środek odcinka AB.

\(\displaystyle{ S_x=\frac{A_x+B_x}{2}=\frac{2ap-\frac{2p}{a}}{2}=p(a-\frac{1}{a})}\)
\(\displaystyle{ S_y=\frac{A_y+B_y}{2}=\frac{2a^2p+\frac{2p}{a^2}}{2}=p(a^2+\frac{1}{a^2})}\)

Teraz trochę pokombinujemy:

\(\displaystyle{ S_x^2=p^2(a^2-2+\frac{1}{a^2})}\), przypomina Sy.. Wystarczy dodać 2p^2 i wszystko podzielić przez p.

Czyli wychodzi nam, że \(\displaystyle{ S_y=\frac{{S_x}^2+2p^2}{p}}\)

Niech \(\displaystyle{ x=p(a-\frac{1}{a})}\), mamy wówczas: \(\displaystyle{ y=\frac{x^2+2p^2}{p}}\) - na tej paraboli leżą środki tych odcinków.