całka nieoznaczona

Całkowalność. Metody i obliczanie całek oznaczonych i nieoznaczonych. Pole pod wykresem. Równania i nierówności z wykorzystaniem rachunku całkowego. Wielowymiarowa całka Riemanna - w tym pola i objętości figur przestrzennych.
josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

całka nieoznaczona

Post autor: josef871 » 28 sie 2007, o 12:10

nie potrafię zrozumieć jak obilcza się tą całkę, bardzo bym prosił o szczegółowe wytłumaczenie:
\(\displaystyle{ \int \frac{Gsds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{G}{2} \frac{1}{n-1} \frac{1}{(s^{2} + r^{2})^{n-1}} + c}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

całka nieoznaczona

Post autor: scyth » 28 sie 2007, o 12:20

Niech \(\displaystyle{ t = s^2 + r^2}\), wtedy \(\displaystyle{ dt = 2s ds \frac{dt}{2} = sds}\).
Zatem (dla \(\displaystyle{ n \ne 1}\)):
\(\displaystyle{ \int \frac{Gsds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{G}{2} t {t^{-n}}dt = \frac{G}{2} \frac{1}{(1-n)} t^{(1-n)} +C = \frac{G}{2}\frac{1}{(1-n)}\frac{1}{(s^2+r^2)^{n-1}} + C}\)

josef871
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 37
Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Olsztyn
Podziękował: 14 razy

całka nieoznaczona

Post autor: josef871 » 28 sie 2007, o 12:45

dzięki jeszcze bym poprosił o wytłumaczenie tej całki poniżej niby podobna ale i tak nie bardzo wiem jak się za nią wziąść:
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{2}} = \frac{1}{2r^{2}} \frac{s}{s^{2} + r^{2}} + \frac{1}{2r^{3}}arctan \frac{s}{r} + C}\)

[ Dodano: 28 Sierpnia 2007, 14:35 ]
jest na to wzór redukcyjny, może on pomoże:
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{1}{2n - 2} \frac{s}{r^{2}(s^{2} + r^{2})^{n-1}} + \frac{2n-3}{(2n - 2)r^{2}} t \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n-1}}}\) i teraz pytanie jak wyprowadzić tą całekę do takiego wzoru?? Przecież nie mogę się go nauczyć na pamięć bo go nie zapamiętam a lepiej to zrozumiem gdy sam to rozpiszę. Liczę na waszą pomoc.

ODPOWIEDZ