nie potrafię zrozumieć jak obilcza się tą całkę, bardzo bym prosił o szczegółowe wytłumaczenie:
\(\displaystyle{ \int \frac{Gsds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{G}{2} \frac{1}{n-1} \frac{1}{(s^{2} + r^{2})^{n-1}} + c}\)
całka nieoznaczona
-
scyth
- Użytkownik
- Posty: 6392
- Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 1087 razy
całka nieoznaczona
Niech \(\displaystyle{ t = s^2 + r^2}\), wtedy \(\displaystyle{ dt = 2s ds \frac{dt}{2} = sds}\).
Zatem (dla \(\displaystyle{ n \ne 1}\)):
\(\displaystyle{ \int \frac{Gsds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{G}{2} t {t^{-n}}dt = \frac{G}{2} \frac{1}{(1-n)} t^{(1-n)} +C = \frac{G}{2}\frac{1}{(1-n)}\frac{1}{(s^2+r^2)^{n-1}} + C}\)
Zatem (dla \(\displaystyle{ n \ne 1}\)):
\(\displaystyle{ \int \frac{Gsds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{G}{2} t {t^{-n}}dt = \frac{G}{2} \frac{1}{(1-n)} t^{(1-n)} +C = \frac{G}{2}\frac{1}{(1-n)}\frac{1}{(s^2+r^2)^{n-1}} + C}\)
-
josef871
- Użytkownik
- Posty: 37
- Rejestracja: 20 sie 2007, o 15:12
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Olsztyn
- Podziękował: 14 razy
całka nieoznaczona
dzięki jeszcze bym poprosił o wytłumaczenie tej całki poniżej niby podobna ale i tak nie bardzo wiem jak się za nią wziąść:
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{2}} = \frac{1}{2r^{2}} \frac{s}{s^{2} + r^{2}} + \frac{1}{2r^{3}}arctan \frac{s}{r} + C}\)
[ Dodano: 28 Sierpnia 2007, 14:35 ]
jest na to wzór redukcyjny, może on pomoże:
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{1}{2n - 2} \frac{s}{r^{2}(s^{2} + r^{2})^{n-1}} + \frac{2n-3}{(2n - 2)r^{2}} t \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n-1}}}\) i teraz pytanie jak wyprowadzić tą całekę do takiego wzoru?? Przecież nie mogę się go nauczyć na pamięć bo go nie zapamiętam a lepiej to zrozumiem gdy sam to rozpiszę. Liczę na waszą pomoc.
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{2}} = \frac{1}{2r^{2}} \frac{s}{s^{2} + r^{2}} + \frac{1}{2r^{3}}arctan \frac{s}{r} + C}\)
[ Dodano: 28 Sierpnia 2007, 14:35 ]
jest na to wzór redukcyjny, może on pomoże:
\(\displaystyle{ \int \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n}} = \frac{1}{2n - 2} \frac{s}{r^{2}(s^{2} + r^{2})^{n-1}} + \frac{2n-3}{(2n - 2)r^{2}} t \frac{ds}{(s^{2} + r^{2})^{n-1}}}\) i teraz pytanie jak wyprowadzić tą całekę do takiego wzoru?? Przecież nie mogę się go nauczyć na pamięć bo go nie zapamiętam a lepiej to zrozumiem gdy sam to rozpiszę. Liczę na waszą pomoc.