Matematyka.pl

Prosiłbym o wskazówkę jak się za to zabrać.

Znajdź wzór na sumę :
\(\displaystyle{ S_{n}=1+2x+3x^2+....+nx^{n-1}}\).

Możesz pomnożyć dwustronnie przez \(\displaystyle{ x}\).

Scałkuj to

a4karo, Scałkowanie by załatwiło sprawę. Ale... wolę elementarne rozwiązania. Nie umiem całek

dec1, Mnożyłem, ale mając wyrażenie \(\displaystyle{ x\cdot S_{n}=...}\) nie wiele więcej wyciągnąłem z tego.

Próbowałem też jakoś to przeindeksować ale też zbytnio nie umiem ułożyć dwóch sensownych różnych równań aby coś uzyskać.

Można też zaburzyć lub zsumować przez części.

Q.

a4karo, rozumiem już. Szukałem podobnego sposobu ale nie pomyślałem o współczynnikach.

Możemy to potraktować jako trójkąt którego wysokość to \(\displaystyle{ nx^{n-1}}\) a podstawa ma długość \(\displaystyle{ \frac{1-x^n}{1-x}}\).
Otrzymujemy że \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{nx^n(1-x^{n})}{2(1-x)}}\)

Chociaż nie jestem pewien czy mogę to tak obliczyć...

Miałem na myśli takie rozwiązanie:
\(\displaystyle{ xS_n=x+2x^2+3x^3+...+nx^n\\
S_n-xS_n=S_n(1-x)=1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}-nx^n}\)
Wiedząc, że \(\displaystyle{ 1+x+x^2+x^3+...+x^{n-1}=\frac{1-x^n}{1-x}}\):
\(\displaystyle{ S_n(1-x)=\frac{1-x^n}{1-x}-nx^n}\)
Czyli:
\(\displaystyle{ S_n=\frac{1-x^n}{(1-x)^2}-\frac{nx^n}{1-x}}\)

Milczek pisze:a4karo, rozumiem już. Szukałem podobnego sposobu ale nie pomyślałem o współczynnikach.

Możemy to potraktować jako trójkąt którego wysokość to \(\displaystyle{ nx^{n-1}}\) a podstawa ma długość \(\displaystyle{ \frac{1-x^n}{1-x}}\).
Otrzymujemy że \(\displaystyle{ S_{n}=\frac{nx^n(1-x^{n})}{2(1-x)}}\)

Chociaż nie jestem pewien czy mogę to tak obliczyć...

Nie ma żadnego uzasadnienia dla Twojego postępowania..