przekatne w trapezie

Wielokąty (n>3). Okręgi. Inne figury płaskie. Zadania i twierdzenia z nimi związane. Geometria rzutowa na płaszczyżnie.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

przekatne w trapezie

Post autor: robin5hood » 28 sie 2007, o 10:26

zad
wykazac, ze w dowolnym trapezie ABCD, w którym M jest punktem przeciecia przekatnych zachodzi równość
\(\displaystyle{ \frac{|AM||MC|}{|AC|^2}=\frac{|BM||MD|}{|BD|^2}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Awatar użytkownika
Lady Tilly
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3807
Rejestracja: 4 cze 2005, o 10:29
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: nie wiadomo
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 712 razy

przekatne w trapezie

Post autor: Lady Tilly » 28 sie 2007, o 13:30

Wydaje mi się, że powinieneś skorzystać z podobieństwa trójkątów ABM oraz CDM.

robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

przekatne w trapezie

Post autor: robin5hood » 28 sie 2007, o 13:40

No tak próbowalem ale co dalej??

Awatar użytkownika
kuma
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 259
Rejestracja: 16 sie 2007, o 22:03
Płeć: Mężczyzna
Podziękował: 12 razy
Pomógł: 69 razy

przekatne w trapezie

Post autor: kuma » 28 sie 2007, o 16:09

x-długość |AM|
y-długość |MC|
a-długość |DM|
b-długość |MB|



Z podobieństwa trójkątów ABM i DCM

\(\displaystyle{ \frac{y}{x}=\frac{a}{b}}\)
\(\displaystyle{ x=\frac{yb}{a}}\)

mamy udowodnić, że
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{ab}{(a+b)^{2}}}\)

teraz podstawiamy za x
\(\displaystyle{ \frac{xy}{(x+y)^{2}}=\frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{y*\frac{yb}{a}}{(y+\frac{yb}{a})^2}=\frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{\frac{b}{a}}{(1+\frac{b}{a})^2}=\frac{ab}{(a+b)^2}}\)
\(\displaystyle{ \frac{b}{a}*((a)^{2}+2ab+(b)^{2})=ab*(\frac{b^{2}}{a^{2}}=2*\frac{b}{a}+1)}\)
\(\displaystyle{ ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}=ba+2b^{2}+\frac{b^{3}}{a}}\)
\(\displaystyle{ L=P}\)


ODPOWIEDZ