Granice

Wyznaczanie granic funkcji. Ciągłość w punkcie i ciągłość jednostajna na przedziale. Reguła de l'Hospitala.
Awatar użytkownika
dasmany
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 27 sie 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świnoujście
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Granice

Post autor: dasmany » 28 sie 2007, o 10:25

Kolejny problem.
1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ft(\sqrt{x^{2}+x+1}+x\right)}\)

2.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} ft(\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\right)}\)

zakładam że \(\displaystyle{ \tan}\) to tangens?
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

bullay
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 236
Rejestracja: 24 lis 2006, o 22:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: -----
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 26 razy

Granice

Post autor: bullay » 28 sie 2007, o 10:36

1.
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty} ft(\sqrt{x^{2}+x+1}+x\right)= \lim_{x\to -\infty} ft((\sqrt{x^{2}+x+1}+x)(\frac{\sqrt{x^{2}+x+1}-x}{\sqrt{x^{2}+x+1}-x})\right)=\lim_{x\to -\infty} ft(\frac{x^{2}+x+1-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+x+1}-x}\right)= \lim_{x\to -\infty} ft(\frac{1+\frac{1}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1}\right)=\frac{1}{2}}\)

Awatar użytkownika
setch
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1307
Rejestracja: 14 sie 2006, o 22:37
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Bełchatów
Podziękował: 155 razy
Pomógł: 207 razy

Granice

Post autor: setch » 28 sie 2007, o 10:39

\(\displaystyle{ \lim_{x \to -\infty} ft(x\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+x\right)=
\lim_{x \to -\infty} x\left(\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}}+1\right)=-\infty}\)


bullay, w drugiej i trzeciej równości od końca w mianowniku minus zamienil się na plus

Awatar użytkownika
dasmany
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 10
Rejestracja: 27 sie 2007, o 18:25
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Świnoujście
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1 raz

Granice

Post autor: dasmany » 28 sie 2007, o 11:01

Coś się nie zgadza. Bullay dlaczego u Ciebie pod koniec w mianowniku '-' zamienia się na '+'? Wynik pierwszego przykładu to powinno być wg odpowiedzi: \(\displaystyle{ -\frac{1}{2}}\)

Nikt nie pomoże?

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

Granice

Post autor: max » 28 sie 2007, o 21:21

setch:
\(\displaystyle{ \sqrt{x^{2}} = |x|}\)

Kontynuując rozumowanie jakie przedstawił bullay (poprawiając tego minusa w mianowniku):
\(\displaystyle{ \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{x + 1}{\sqrt{x^{2} + x + 1} - x}\right) =\\
= \lim_{x\to -\infty}\left(\frac{1 + \frac{1}{x}}{-\sqrt{1 +\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{2}}} - 1}\right) =-\frac{1}{2}}\)


\(\displaystyle{ \lim_{x\to 0} ft(\frac{\tan x - \sin x}{x^{3}}\right) = \lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x(1 - \cos x)}{x^{3}\cos x}\right) = \lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{1 - 1 + 2\sin^{2} \frac{x}{2}}{x^{2}}\cdot \frac{1}{\cos x}\right) =\\
=\lim_{x\to 0} ft(\frac{\sin x}{x}\cdot \frac{\sin^{2} \frac{x}{2}}{2\left(\frac{x}{2}\right)^{2}}\cdot \frac{1}{\cos x}\right) = 1\cdot \frac{1}{2}\cdot 1 = \frac{1}{2}}\)

ODPOWIEDZ