Matematyka.pl

Witam.

Wyznacz wartość parametru p dla których równanie \(\displaystyle{ \frac{4x^2 -9}{ \sqrt{ 4x^2 - 12x + 9}} + p \sqrt{2} = 4}\)
ma dwa rozwiązania.

Dziedzina : \(\displaystyle{ R \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}}\)
Jak wszystko rzuce na jedną stronę i dam do wspólnego mianownika, mam takie coś :
\(\displaystyle{ \frac{4x^2 - 9 + (p \sqrt(2) - 4)(\sqrt{ 4x^2 - 12x + 9})}{\sqrt{ 4x^2 - 12x + 9}} = 0 \Leftrightarrow {4x^2 - 9 + (p \sqrt(2) - 4)(\sqrt{ 4x^2 - 12x + 9}) = 0}\)

można zauważyć że wyrażenie pod pierwiastkiem można fajnie zwinąc do wartości bezwzględnej . I co dalej ? Jak dalej pociągnąć to zadanie ?

Wzory skróconego mnożenia w liczniku i mianowniku - na początku.

[edit] Nie zauważyłem, że masz to na końcu.

No to zwiń, pokaż co dostajesz.

\(\displaystyle{ 4x^2 - 9 + (p \sqrt{2} - 4)\left| 2x - 3\right| = 0}\)

i stąd dwa równania kwadratowe które mają mieć dwa rozwiązania, czyli delta tych równań ma być większa od zera.

\(\displaystyle{ 4x^2 + x ( 2 p \sqrt{2} - 8) - 3(p \sqrt{2} - 1 ) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x > \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4x^2 - x ( 2 p \sqrt{2} - 8) -+3p \sqrt{2} - 21 = 0}\) dla \(\displaystyle{ x > \frac{3}{2}}\)

delty tych równań wychodzą mi kolejno
\(\displaystyle{ p^2 + 2 p \sqrt{2} + 2}\) i
\(\displaystyle{ p^2 - 10 p \sqrt{2} + 50}\)

Tyle że obydwie delty mają jeden pierwiastek drugiego stopnia ( odpowiednio \(\displaystyle{ - \sqrt{2}}\) i drugiej delty \(\displaystyle{ 5 \sqrt{2}}\) stąd nie wiem jak ma wyglądać zbiór wartości p , dla których tamte równania mają dwa rozwiązania, wychodzi że dla wszystkich liczb rzeczywistych poza tymi pierwiastkami.. Wolfram twierdzi coś takiego :

Inaczej:
\(\displaystyle{ \frac{(2x-3)(2x+3)}{\left| 2x-3\right| } =4-p \sqrt{2}}\) oraz \(\displaystyle{ x \neq \frac{3}{2}}\)
Niech \(\displaystyle{ t=4-p \sqrt{2}}\) co daje równanie:
\(\displaystyle{ \left[ sgn(2x-3) \right] \cdot (2x+3)=t}\)
Rysunek lewej strony (lub rozpisanie równości na przypadki) daje odpowiedź:
\(\displaystyle{ t>6\\4-p \sqrt{2} >6\\p< -\sqrt{2}}\)


Edit:

Kolega Larsonik wytłumaczył znaczenie sgn() .
Jeśli nie chcesz jej używać musisz rozbić równanie na przypadki:
\(\displaystyle{ \frac{(2x-3)(2x+3)}{\left| 2x-3\right| } =t}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{(2x-3)(2x+3)}{-( 2x-3) } =t \ &\text{dla } x <\frac{3}{2}\right) \vee
\left( \frac{(2x-3)(2x+3)}{ 2x-3 } =t \ &\text{dla } x >\frac{3}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(-(2x+3) =t \ &\text{dla } x <\frac{3}{2}\right) \vee
\left( 2x+3 =t \ &\text{dla } x >\frac{3}{2}\right)}\)

Okej, mógłbyś tylko poprawić ten zapis z sgn ? Bo nie bardzo kojarzę co z tym zrobić :D

\(\displaystyle{ sgn}\) to jest funkcja, która wpływa wyłącznie na znak całego wyrażenia (może również przyjmować wartość \(\displaystyle{ 0}\), ale w tej sytuacji tak nie będzie ze względu na dziedzinę) . Należało jej tu użyć z powodu modułu w mianowniku.

Czyli tok rozumowania jest taki - po rozpisaniu przypadków wartości bezwzględnej dostaje dwie równości z "iksem" i parametrem p w określonych dziedzinach czyli mam tak jakby dwa rozwiązania. Wtedy wystarczy tylko ułożyć nierówności żeby iks zgadzał się z dziedziną, i dostaję wartości parametru p ?

W zasadzie tak. Rozpisanie ,,daje" równania liniowe - dlatego w moim pierwszym pisałem abyś pokazał co masz.

asign123 pisze:\(\displaystyle{ 4x^2 - 9 + (p \sqrt{2} - 4)\left| 2x - 3\right| = 0}\)

i stąd dwa równania kwadratowe które mają mieć dwa rozwiązania, czyli delta tych równań ma być większa od zera.

\(\displaystyle{ 4x^2 + x ( 2 p \sqrt{2} - 8) - 3(p \sqrt{2} - 1 ) = 0}\) dla \(\displaystyle{ x > \frac{3}{2}}\)

\(\displaystyle{ 4x^2 - x ( 2 p \sqrt{2} - 8) -+3p \sqrt{2} - 21 = 0}\) dla \(\displaystyle{ x > \frac{3}{2}}\)

delty tych równań wychodzą mi kolejno
\(\displaystyle{ p^2 + 2 p \sqrt{2} + 2}\) i
\(\displaystyle{ p^2 - 10 p \sqrt{2} + 50}\)

Nie wiem ale mam chyba jakieś zaćmienie w jaki sposób wychodzi Tobie takie \(\displaystyle{ \Delta}\), możesz to rozpisać ?
Napisze jak ja liczę:
\(\displaystyle{ 4x^2 + x ( 2 p \sqrt{2} - 8) - 3(p \sqrt{2} - 1 )}\)
\(\displaystyle{ \Delta=( 2 p \sqrt{2} - 8)^{2} - 4 \cdot 4 \cdot (- 3(p \sqrt{2} - 1 ) )}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8p^2- 32\sqrt{2}p + 64 - (16 \cdot (- 3(p \sqrt{2} - 1 ) ))}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8p^2- 32\sqrt{2}p + 64 - (-48\sqrt{2}p + 48 )}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8p^2- 32\sqrt{2}p + 64 + 48\sqrt{2}p - 48}\)
\(\displaystyle{ \Delta=8p^2+ 16\sqrt{2}p + 16}\)
Po za tym mało logiczne jest dla mnie wyliczanie tu delty bo jako \(\displaystyle{ x}\) mamy podstawić \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\)
Chyba że najpierw trzeba podstawić x ale wtedy wychodzi mi 0=0, któryś raz to podstawiam...
O tyle o ile dalsze sposoby są dla mnie jasne to to nie jest.

piasek101 pisze:W zasadzie tak. Rozpisanie ,,daje" równania liniowe - dlatego w moim pierwszym pisałem abyś pokazał co masz.

Zatem nie pytaj o deltę.

kerajs pisze: Jeśli nie chcesz jej używać musisz rozbić równanie na przypadki:
\(\displaystyle{ \frac{(2x-3)(2x+3)}{\left| 2x-3\right| } =t}\)
\(\displaystyle{ \left( \frac{(2x-3)(2x+3)}{-( 2x-3) } =t \ &\text{dla } x <\frac{3}{2}\right) \vee
\left( \frac{(2x-3)(2x+3)}{ 2x-3 } =t \ &\text{dla } x >\frac{3}{2}\right)}\)
\(\displaystyle{ \left(-(2x+3) =t \ &\text{dla } x <\frac{3}{2}\right) \vee
\left( 2x+3 =t \ &\text{dla } x >\frac{3}{2}\right)}\)

Jednak nie rozumiem tego, domyślam się że jak wyszła funkcja liniowa :
\(\displaystyle{ t=4-p \sqrt{2}\\t=6\\4-p \sqrt{2}=6}\)
Ale dlaczego wstawiamy znak nierówności:
\(\displaystyle{ t>6\\4-p \sqrt{2} >6\\p< -\sqrt{2}}\)
Myślałbym raczej że :
\(\displaystyle{ t=-6 \wedge t=6}\) i tu mamy dwa rozwiązania skoro mamy wcześniej :
\(\displaystyle{ \left[ sgn(2x-3) \right] \cdot (2x+3)=t}\)
Czemu wstawiamy tu nierówność ?

Masz dwie różne ,,liniowe" w zależności od x-sa. Jak narysujesz to zobaczysz jakie poziome (parametr) przecinają wykres dwa razy.

Nadal nie potrafie tego rozgryźć ,
W sumie mamy cos takiego :
\(\displaystyle{ \frac{4x^2 -9}{ \sqrt{ 4x^2 - 12x + 9}} + p \sqrt{2} = 4}\)
Mają byc dwa rozwiązania i x nie może byc \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) , czego wcześniej nie zrozumiałem bo zmylił mnie ten zapis:
\(\displaystyle{ R \setminus \left\{ \frac{3}{2} \right\}}\), myślałem że własnie ma byc tylko 3/2 i teraz po przekształceniach :
\(\displaystyle{ \frac{(2x-3)(2x+3)}{\left 2x-3\right } =4-p \sqrt{2}}\)
Po co zakładamy że :
\(\displaystyle{ \left(-(2x+3) =t \ &\text{dla } x <\frac{3}{2}\right) \vee \left( 2x+3 =t \ &\text{dla } x >\frac{3}{2}\right)}\) skoro nie zależnie czy :
\(\displaystyle{ (2x-3)}\) będzie minusowy czy nie to przecież w liczniku to sie skróci :
\(\displaystyle{ \frac{(2x-3)(2x+3)}{( 2x-3) }= (2x+3)}\), po za tym które to są te dwie odpowiedzi...

W mianowniku masz wartość bezwzględną - więc nie wiesz czy ,,zniknąć kreski" czy ,,zniknąć kreski i zmienić znak tego co było między kreskami".

Ale po co ta wartośc bezwzględna przecież na początku jej nie ma :
\(\displaystyle{ \frac{4x^2 -9}{ \sqrt{ 4x^2 - 12x + 9}} + p \sqrt{2} = 4}\)
a \(\displaystyle{ 2x+3}\) będzie dopiero minusewe kiedy \(\displaystyle{ x<- \frac{3}{2}}\) a nie \(\displaystyle{ x< \frac{3}{2}}\)