Matematyka.pl

Wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w punkcie \(\displaystyle{ m}\) jest równa sumie pierwiastków równania \(\displaystyle{ \left| mx ^{2} - 2x \right|=m}\), przy czym
każdy pierwiastek jest w tej sumie uwzględniany tylko raz niezależnie od jego krotności.
Znajdź funkcję \(\displaystyle{ g : m \rightarrow g(m)}\) i naszkicuj jej wykres.

Próbuję rozwiązać to zadanie ale nie mam pomysłu. Pomoże ktoś ?

Z definicji wartości bezwzględnej wiemy, że \(\displaystyle{ m \ge 0}\)

\(\displaystyle{ \left| mx ^{2} - 2x \right|=m}\)

Sprawdzamy dla \(\displaystyle{ m=0}\):
\(\displaystyle{ \left| -2x\right|=0 \Leftrightarrow x=0}\) Mamy pierwszy pierwiastek

Teraz dla \(\displaystyle{ m>0 \quad mx ^{2} - 2x-m=0 \quad \vee \quad mx ^{2} - 2x+m=0}\)

Zbadaj ilość rozwiązań w zależności od parametru \(\displaystyle{ m}\)
Pierwiastek dwukrotny będzie tylko dla \(\displaystyle{ m=1, x_{0}=1}\), w pozostałych przypadkach będą dwa pierwiastki \(\displaystyle{ x _{1}+x _{2}= \frac{2}{m}}\)

\(\displaystyle{ g\left( m\right)=
\begin{cases}0 &\text{dla } m =0\\ 1 &\text{dla } m =1\\ \frac{2}{m} &\text{dla } m \in \left( 0, + \infty \right) \setminus \left\{ 0\right\} \end{cases}}\)

Dzięki za wskazówki Udało mi się rozwiązać i mam nadzieję że dobrze.


A więc oczywiste że dla \(\displaystyle{ m<0 &\text { } g(m)}\) nie istnieje bo \(\displaystyle{ \wedge a \in R \left| a\right| \ge 0}\)


Gdy \(\displaystyle{ m=0}\) to \(\displaystyle{ g(m)=0}\)


Zabawa zaczyna się dopiero teraz.
Rozrysowałem sobie funkcje po lewej stronie



Miejsca zerowe to \(\displaystyle{ 0 , \frac{2}{m}}\) obydwa nieujemne bo \(\displaystyle{ m>0}\).

Wierzchołek to \(\displaystyle{ \frac{1}{m}}\).

Po wymnożeniu \(\displaystyle{ f( \frac{1}{m})=\left|- \frac{1}{m} \right| = \frac{1}{m}}\)



Prowadząc prostą \(\displaystyle{ y=m}\) widać, że \(\displaystyle{ \frac{1}{m}=m \Leftrightarrow m=\left\{ -1,1\right\}}\) ale że nasze \(\displaystyle{ m>0}\) czyli \(\displaystyle{ m=1}\)



1. Gdy \(\displaystyle{ m \in (0,1)}\) to nasze równanie ma 4 rozwiązania \(\displaystyle{ x _{1} , \frac{2}{m}- x _{1}, x _{2} , \frac{2}{m}- x _{2} \Rightarrow suma= \frac{4}{m}}\)



2.Gdy \(\displaystyle{ m=1}\) to nasze równanie ma postać \(\displaystyle{ \left| x ^{2} - 2x \right|=1}\)

a z tego miejscami zerowymi są \(\displaystyle{ 1, 1- \sqrt{2}, 1+ \sqrt{2} \Rightarrow suma=3}\)



3. Gdy \(\displaystyle{ m \in (1, \infty )}\) to nasze równanie ma 2 rozwiązania \(\displaystyle{ x _{1} , \frac{2}{m}- x _{1} \Rightarrow suma= \frac{2}{m}}\).



Z mojego rozumowania wychodzi, że \(\displaystyle{ g(m)= \begin{cases}0 &\text{dla } m=0 \\ \frac{4}{m} &\text{dla } m \in (0,1) \\3 &\text{dla } m=1 \\ \frac{2}{m} &\text{dla } m \in (1, \infty ) \end{cases}}\)

Tak mi się tylko wydaje, mogę się mylić

Dobrze