wykazac nierównosc

Zagadnienia dot. funkcji logarytmicznych i wykładniczych. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI.
robin5hood
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1676
Rejestracja: 2 kwie 2007, o 14:43
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: warszawa
Podziękował: 178 razy
Pomógł: 17 razy

wykazac nierównosc

Post autor: robin5hood » 28 sie 2007, o 10:11

zad
udowodnji, ze jezeli \(\displaystyle{ x_1,x_2,...,x_n R_{+}}\) i \(\displaystyle{ x_1\cdot x_2 ... x_n=a}\) i \(\displaystyle{ a 1}\), to
\(\displaystyle{ (log_{a}x_1)^2+(log_{a}x_2)^2+...+(log_{a}x_n)^2 qslant \frac{1}{n}}\)
Rekrutacja Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski (gif)

Piotr Rutkowski
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2234
Rejestracja: 26 paź 2006, o 18:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 22 razy
Pomógł: 389 razy

wykazac nierównosc

Post autor: Piotr Rutkowski » 28 sie 2007, o 12:36

Ale Calasilyar, to wcale nie dowodzi naszej tezy. Gdyby kwadrat tej sumy był

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

wykazac nierównosc

Post autor: scyth » 28 sie 2007, o 12:36

Calasilyar, nierówność \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}\geqslant \frac{1}{n}}\) trzeba wykazać, a pokazałeś tylko, że
1. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2} \frac{1}{n}}\)
2. \(\displaystyle{ (log_{a}x_{1}+log_{a}x_{2}+...+log_{a}x_{n})^{2} (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}}\)

Awatar użytkownika
Calasilyar
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 2656
Rejestracja: 2 maja 2006, o 21:42
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Wrocław/Sieradz
Podziękował: 29 razy
Pomógł: 410 razy

wykazac nierównosc

Post autor: Calasilyar » 28 sie 2007, o 12:37

dobra, usuwam, bo strach patrzeć

Awatar użytkownika
scyth
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 6392
Rejestracja: 23 lip 2007, o 15:26
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 3 razy
Pomógł: 1087 razy

wykazac nierównosc

Post autor: scyth » 28 sie 2007, o 12:46

Niech \(\displaystyle{ x = min\{x_1,...,x_n\}}\).
Wtedy \(\displaystyle{ a=x_1\cdot ... x_n x^n x a^{\frac{1}{n}}}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ (log_{a}x_{1})^{2}+(log_{a}x_{2})^{2}+...+(log_{a}x_{n})^{2}
(log_{a}x)^{2}+(log_{a}x)^{2}+...+(log_{a}x)^{2} = \\
= n (log_{a}x)^{2} = n ft(\frac{1}{n}log_{a}a\right)^{2} = n \frac{1}{n^2} = \frac{1}{n}}\)

Awatar użytkownika
max
Gość Specjalny
Gość Specjalny
Posty: 3306
Rejestracja: 10 gru 2005, o 17:48
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Lebendigentanz
Podziękował: 37 razy
Pomógł: 778 razy

wykazac nierównosc

Post autor: max » 28 sie 2007, o 21:40

Ewentualnie z nierówności między średnią arytmetyczną a kwadratową.

ODPOWIEDZ